Wikiversity

Dalam matematik, set ialah konsep bagi sekumpulan benda. Kajian mendalam tentang set diteruskan lagi dalam bidang teori set.

Pembinaan

Set boleh dibentuk dengan tatatanda $\{...\}$ . Sebagai contoh, berikut ialah set warna primer $W$ :

W=\{merah,hijau,biru\}

Keahlian

Setiap objek yang terdapat dalam sesebuah set ialah ahli atau unsur bagi set itu. Sebagai contoh, $1$ ialah unsur bagi set $\{1,2,3,4\}$ .

Hubungan keahlian boleh ditulis dengan lambang $\in$ . Kenyataan

x\in A

bermaksud $x$ ialah unsur $A$ . Penafian keahlian boleh ditulis dengan lambang $\notin$ .

Set juga merupakan suatu objek matematik. Oleh itu, set boleh dijadikan unsur bagi set lain. Sebagai contoh, $\{\{1\}\}$ ialah sebuah set yang mengandungi satu unsur $\{1\}$ , yang pula merupakan set dengan satu unsur $1$ . Dalam kata lain, $1\in \{1\}\in \{\{1\}\}$ .

Subset

Subset ialah set yang semua nilai kandungannya terdapat dalam set yang lain. Sebagai contoh, set $A=\{x,y,z\}$ ialah subset kepada $B=\{x,y,z,1,2,3\}$ . Atau secara matematik, ia ditulis $A\subseteq B$ . Sama juga, $B\supseteq A$ , tetapi kali ini ia dibaca " $B$ ialah superset bagi $A$ " berbanding sebelumnya, " $A$ ialah subset bagi $B$ ".

Secara formal, $A\subseteq B\leftrightarrow \forall (x\in A\to x\in B)$ , atau, dengan menggunakan set kuasa, $A\subseteq B\leftrightarrow A\in {\mathcal {P}}(B)$ .

Konsep subset boleh digunakan untuk menentukan kesamaan set. Suatu set A adalah sama dengan suatu set B jika set A ialah subset B dan B ialah subset A. Dalam simbol,

A=B\leftrightarrow A\subseteq B\land B\subseteq A

Operasi

Terdapat beberapa operasi yang boleh dikendalikan pada set.

Kesatuan bagi set A dan set B ialah set bagi semua unsur bagi A dan semua unsur bagi B. Secara formal,

A\cup B=\{x:x\in A\lor x\in B)\}

Persilangan bagi set A dan set B ialah set bagi semua unsur yang terdapat dalam kedua-dua A dan B. Secara formal,

A\cap B=\{x:x\in A\land x\in B\}

Pelengkap bagi set B dalam set A ialah set bagi semua unsur bagi A tetapi tidak mengandungi sebarang unsur bagi B. Secara formal,

A\setminus B=\{x:x\in A\land x\notin B\}

Hasil darab Descartes bagi set A dan set B ialah set bagi semua pasangan unsur bagi A dan unsur bagi B. Secara formal,

A\times B=\{\langle x,y\rangle :x\in A\land y\in B\}

Kesatuan tak bercantum bagi set A dan set B ialah set gabungan semua unsur bagi A dan B, yang mengekalkan keahlian setiap unsur bagi set-set asal. Secara formal,

A+B=(\{0\}\times A)\cup (\{1\}\times B)

Set khas

Terdapat beberapa set khas yang sering digunakan dalam matematik. Kesemua set ini ditulis dengan cara 'tebal papan hitam':

$\mathbb {P}$: Set bagi semua nombor perdana.
$\mathbb {N}$: Set bagi semua nombor asli. Iaitu, $\mathbb {N} =\{0,1,2,3,...\}$ atau $\mathbb {N} =\{1,2,3,...\}$ .
$\mathbb {Z}$: Set bagi semua integer. Iaitu, $\mathbb {Z} =\{...,-2,-1,0,1,2,...\}$ .
$\mathbb {Q}$: Set bagi semua nombor nisbah. Iaitu, $\mathbb {Q} =\{a/b:a,b\in \mathbb {Z} \land b\neq 0\}$ .
$\mathbb {R}$: Set bagi semua nombor nyata.
$\mathbb {C}$: Set bagi semua nombor kompleks.

Kesemua set di atas mempunyai bilangan unsur yang tidak terhingga. Namun begitu, saiz bagi mana-mana set khas ini boleh dibandingkan dengan ukuran kekardinalan. Nombor kardinal bagi set nombor asli, contohnya, ialah $\aleph _{0}$ (alef-nol). Teori mengenai kekardinalan ini dikemukakan oleh Georg Cantor.

Lihat juga

Glosari teori set

Pautan luar

Jika anda melihat rencana yang menggunakan templat {{tunas}} ini, gantikanlah dengan templat tunas yang lebih spesifik.