Wikiversity

0 (מספר שלם)
כתיב עשרוני	0
במילים	אפס
כתיב רומי
כתיב בינארי	0
כתיב הקסדצימלי	0

אפס הוא המספר השלם שבא לפני 1 ואחרי 1−. אפס הוא המספר הסודר הקטן ביותר, וכמציין כמות הוא מתייחס למספר האיברים בקבוצה הריקה.

היסטוריה של האפס

בשיטת הסימון הרומית אין סימון מיוחד לאפס, והוא מבוטא בהיעדר כל סימון. המחסור בסימן מיוחד עבור האפס עיכב את התפתחותה של שיטת הסימון העשרונית, המקובלת היום.

הסימון 0

מקורה של הקצאת סימן מיוחד לאפס בהודו בשנת 628, בכתב היד בראהמספהוטסידהאנטה. במקורו נקרא האפס "סוּניה" – מילה הינדית שפירושה "ריק" – ה-0 ייצג את העמודה הריקה בחשבונייה. ההכרה באפשרות לסמן עמודה ריקה איפשרה להודים להמציא את השיטה העשרונית, שבה האפס מבדיל בין מספר כגון שלושים ואחת (31) ושלושת-אלפים ועשר (3010). כ-200 שנים אחר כך, סימנו הערבים את הספרה הזו באמצעות עיגול ריק וקראו לו "סיפְר" (שוב, מילה שפירושה "ריק"). עם הזמן הפך ה"סיפר" הערבי ל-"zero" המערבי, וכך הוא נקרא עד היום.

מן ההודים הגיע האפס לכתביו של המתמטיקאי והפילוסוף הפרסי בן המאה התשיעית, אל ח'ואריזמי, ורק במאה ה-11 הגיע דרך אנדלוסיה לאירופה. בתפקיד דומה מופיע האפס גם בתרבויות אמריקאיות קדומות, כמו זו של בני המאיה.

ההופעה הראשונה של הספרה "אפס" במערב הייתה בספריו של פיבונאצ'י. בשנת 1202 פרסם את ספרו ספר החשבונייה (Liber abbaci), שתרם להפצת השימוש בספרות הערביות בעולם המערבי (שם השתמשו בספרות רומיות), ואשר הכיל חידושים רבים.

בעברית

בימי הביניים השתמשו המתמטיקאים היהודים במילה סיפרא לציון האפס, אך הראשון שכתב על המושג אפס בעברית היה רבי אברהם אבן עזרא (1089/1092–1167) בספרו "ספר המספר", שכינה את האפס גלגל:

ואם אין לו מספר באחדים ויש לו מספר במעלה השנית שהם העשרות, ישים כדמות גלגל O בראשונה להורות כי אין במעלה הראשונה מספר ... וזה הגלגל O וטעמו כגלגל, כקש לפני רוח, ואינו אלא לשמור המעלות, ובלשון לעז שמו סיפרא.

בדורות המאוחרים יותר, לא היה שם מקובל למספר אפס. רבי עשהאל יהודה מה טוב בספרו "כיסאות לבית דוד" (ורונה, ה'ת"ט, 1649)^[2] קורא לאפס בשם הארוך: ”האותיות העגולות אשר יקראו אותן בלשונם אפס ואין... שהם באמת ובתמים בלתי בעלי הוראה פרטית מיוחדת למספר כי אם סימן וזכר לעשרות ומאות ואלפים”, ורבי אליהו צאהלין בספרו "מלאכת מחשבת" (זאלקווא, תקי"ח, 1757) כתב: ”בראשית אציג לפניך התשעה אותיות אשר בהם יוחשבו כל החשבונות שבעולם עד אין קץ ותכלית [וכאן מובאת רשימת הספרות 1-9]... ועוד יש אות אחד חוץ מתשעה אותיות האלו והוא כטבעת הזה O, ונקרא בלשונם נוּל [כלום, אפס בגרמנית], ואין בו שום מספר... כי אם פעולתו על האות שאחריו העומד לשמאלו”.

המילה העברית 'אפס' במובן של "אַיִן" מופיעה כבר בתנ"ך, כמו בפסוק "ויאמר המלך, האפס עוד איש לבית שאול, ואעשה עמו, חסד אלוהים" (ספר שמואל ב', פרק ט', פסוק ג') או במשמעות של מילה נרדפת ל"אך" כמו בפסוק "אפס כי עז" (ספר במדבר, פרק י"ג, פסוק כ"ח). הפעם הראשונה שהשתמשו במילה אפס לציון המספר, היה בספר לימוד של דוד פריזנהויזן שנקרא "כליל החשבון" שנדפס בברלין בשנת תקנ"ז (1796), ומאז התקבל שם זה בתפוצות העם.

האפס במתמטיקה

מלבד תפקידו של הסימן לספרת האפס בשיטות הספירה הפוזיציוניות, למספר אפס יש תפקידים רבים במתמטיקה. במספרים הסודרים, הקבוצה הריקה משמשת בסיס לבניית המספרים הטבעיים, באמצעות ההגדרות $\ 0=\phi ,1=\{\phi \},2=\{\phi ,\{\phi \}\},\dots$ . מספרים אלה מצטרפים לכדי מערכת פאנו של המספרים הטבעיים במערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל. בדומה לזה, אפס הוא העוצמה של הקבוצה הריקה.

במערכות אלגבריות כמו שדות או חוגים, ובפרט במספרים הרציונליים ובמספרים השלמים, איבר האפס הוא האיבר הנייטרלי ביחס לחיבור (איבר האפס), כלומר, האיבר z המקיים את התנאי $\ a+z=a$ לכל a. באנליזה מפריד האפס בין שני סוגי מספרים: כל מספר גדול ממנו הוא מספר חיובי, וכל מספר קטן ממנו הוא מספר שלילי, כך שלמעשה 0 אינו מוגדר כשלילי או כחיובי.

פעולות באפס

מתכונת הנייטרליות של המספר אפס נובעת ההרסנות של האפס בכפל: $\ a\cdot 0=0$ . משום כך לא ניתן להגדיר את ההפכי של אפס כמספר ממשי: אילו היינו מסכימים ש- $\ b={\frac {1}{0}}$ הוא מספר ממשי, היה צריך להתקיים $\ 1=b\cdot 0=0$ , וזה בלתי אפשרי. בהקשרים אחרים (גאומטריים ואנליטיים) אפשר להסכים שהחילוק באפס מניב אינסוף ( $\ {\frac {1}{0}}=\infty$ ); הוספת האינסוף למערכת המספרים מקלקלת את מרבית התכונות שלה, ולכן מקובל יותר לומר שהחילוק באפס אינו מוגדר.

לפיכך, התוצאה של חילוק אפס באפס אינה מוגדרת, משום שכל מספר מקיים את התנאי $\ a\cdot 0=0$ הנדרש מתוצאת הפעולה. באנליזה של סדרות ממשיות אפשר לחקור את הגבול של תהליך שבו מתקרבים המונה והמכנה לאפס בעת ובעונה אחת. דוגמה אחת לתהליך כזה היא הגבול של sin(x)/x; קל למצוא דוגמאות שבהן מתקבל כל ערך שהוא, לרבות כל מספר ממשי, אפס, אינסוף, מינוס אינסוף, או אפילו הגבול איננו קיים כלל כגון ${\frac {(-1/2)^{n}}{(1/2)^{n}}}$ .

מוסכם כי ערכה של מכפלה ריקה (שאין בה גורמים כלל) הוא 1, משום שהוספת קבוצה ריקה של גורמים למכפלה אחרת אינה משנה את ערכה, בדיוק כמו הכפל ב-1. משום כך נקבע כי $\ x^{0}=1$ לכל מספר שונה מאפס x, וקביעה זו עקבית עם כללי החזקות הרגילים, כגון $\ a^{b+c}=a^{b}\cdot a^{c}$ . לעומת זאת, משמעות הביטוי $0^{0}$ תלויה בהקשר. בקומבינטוריקה נוח להגדיר את ערך הביטוי כ-1 (בהתאם להגדרת החזקה של עוצמות בתור העוצמה של קבוצת פונקציות מתאימה), ובאנליזה הביטוי בדרך-כלל אינו מוגדר (משום שלכל מספר חיובי, $\ x^{0}=1$ , בעוד ש- $\ 0^{x}=0$ ).