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三等分角无法按照尺规作图的规定作出，但如果借助另外的工具或放宽尺规作图的限制，三等分角是可行的

三等分角是古希臘平面几何里尺規作圖领域中的著名问题，與化圓為方及倍立方問題並列為尺规作图三大難題。尺规作图是古希腊人的数学研究课题之一，是对具体的直尺和圆规画图可能性的抽象化，研究是否能用规定的作图法在有限步内达到给定的目标。三等分角问题的内容是：“能否仅用尺规作图法将任意角度三等分？”

三等分角问题提出后，在漫长的两千余年中，曾有众多的尝试，但没有人能够给出严格的答案^[1] 。随着十九世纪群论和域论的发展，法国数学家皮埃尔·汪策尔（英语：Pierre Wantzel）首先利用伽罗瓦理论证明，這個問題的答案是否定的：不存在仅用尺规作图法将任意角度三等分的通法。具体来说，汪策尔研究了给定单位长度後，能够用尺规作图法所能达到的长度值。所有能够经由尺规作图达到的长度值被称为规矩数，而汪策尔证明了，如果能够三等分任意角度，那么就能做出不属于规矩数的长度，从而反证出通过尺规三等分任意角是不可能的。

如果不将手段局限在尺规作图法中，放宽限制或借助更多的工具的话，三等分任意角是可能的。然而，作为数学问题本身，由于三等分角问题表述简单，而证明困难，并用到了高等的数学方法，在已被證明不可能实现后，仍然有许多人尝试给出肯定的证明。^[1]

背景简介

尺规作图法

在叙述三等分问题前，首先需要介绍尺规作图的意思。尺规作图问题是从现实中具体的“直尺和圆规画图可能性”问题抽象出来的数学问题，将现实中的直尺和圆规抽象为数学上的设定，研究的是能不能在若干个具体限制之下，在有限的步骤内作出给定的图形、结构或其他目标的问题。在尺规作图中，直尺和圆规的定义是^[1]：

直尺：一侧为无穷长的直线，没有刻度也无法标识刻度的工具。只可以让笔摹下这个直线的全部或一部分。

圆规：由两端点构成的工具。可以在保持两个端点之间的距离不变的情况下，固定其中一个端点，让另一个端点移动，作出圆弧或圆。两个端点之间的距离只能取已经作出的两点之间的距离，或者任意一个未知的距离。

定义了直尺和圆规的特性後，所有的作图步骤都可以归化为五种基本的步骤，称为作图公法^[1]：

通過兩個已知點，作一直線。
已知圓心和半徑，作一個圓。
若兩已知直線相交，确定其交點。
若已知直線和一已知圓相交，确定其交點。
若兩已知圓相交，确定其交點。

尺规作图研究的，就是是否能够通过以上五种步骤的有限次重复，达到给定的作图目标。尺规作图问题常见的形式是：“给定某某条件，能否用尺规作出某某对象？”比如：“给定一个圆，能否用尺规作出这个圆的圆心？”等等。^[1]

问题叙述

三等分角问题的完整叙述是^[2]：

“

任意给定一个角，是否能够通过以上说明的五种基本步骤，于有限次内作出另一个角，等于这个角的三分之一？

”

关于这个叙述中的用词和术语，需要一一作出定义。“角”可以有两种等价的定义：一个角可以是由一点和从它出发的两条射线构成的集合，也可以是由三点和连接它们的两条线段构成的集合。以下的叙述中采取第二个定义，用三个大写英文字母或一个希腊字母表示一个角。角 $AOB$ 指的是由三点 $A, O, B$ 以及线段 $AO$ 和 $OB$ 构成的集合，也可以直接用一个希腊字母如 $α$ 表示。两个角 $AOB$ 和 $A'O'B'$ 相等，指的是以下条件：如果将线段 $OA$ 沿点 $A$ 延长为射线，在上面作一点 $C$ 使得 $OC$ $=$ $O'A'$ ，同时将线段 $OB$ 沿点 $B$ 延长为射线，在上面作一点 $D$ 使得 $OD$ $=$ $O'B'$ ，则 $CD$ $=$ $A'B'$ 。

一个角 $α$ 等于另一个角 $β$ 的三分之一，指的是角 $β$ 等于角 $α$ 的三倍。而一个角 $AOB$ 等于角 $AOC$ 的 $k$ 倍（ $k > 1$ 为自然数），指的是可以找到点 $B 1, B 2, ... , B k$ 等，使得 $k$ 个角 $AOB 1, B 1 OB 2, ... , B k -1 OB k$ 都等于 $AOC$ ，并且点 $B k$ 就是点 $B$ 。

二等分角问题

与三等分角问题相比，用尺规作图将任意角二等分要容易得多。右图具体说明了二等分一个角的步骤。依照类似的步骤，也能够将任意角四等分、八等分……但直到十九世纪，随着群论和伽罗瓦理论的出现，数学家们才认识到二等分角和三等分角本质上的不同。在现代数学语言中，更常用域扩张的理论来论述三等分角的问题。从证明三等分角的过程中可以知道，尺规作图的方法不但不能三等分任意角，也不能将任意角五等分、七等分、九等分、十一等分。其理由涉及到直线和圆的解析性质。

不可能性的證明

1837年，法國數學家汪策爾證明了，三等分角問題是沒有辦法完成的^[3]^:15。

三等分角問題提出後，有許多基於平面幾何的論證和嘗試，但在十九世紀以前，一直沒有完整的解答。沒有人能夠給出將任意角度三等分的確實做法，但開始懷疑其可能性的人之中，也沒有人能夠證明這樣的做法一定不存在。直到十九世紀後，伽羅瓦和阿貝爾(全名:尼爾斯·阿貝爾)開創了以群論來討論有理係數多項式方程之解的方法，人們才認識到三等分角問題的本質。

尺规可作性和规矩数

在研究各种尺规作图问题的时候，数学家们留意到，能否用尺规作出特定的图形或目标，本质是能否作出符合的长度。引进直角坐标系和解析几何以后，又可以将长度解释为坐标。比如说，作出一个圆，实际上是作出圆心的位置（坐标）和半径的长度。作出特定的某个交点或某条直线，实际上是找出它们的坐标、斜率和截距。为此，数学家引入了尺规可作性这一概念。假设平面上有两个已知的点 $O$ 和 $A$ ，以 $OA$ 为单位长度，射线 $OA$ 为 $x$ -轴正向可以为平面建立一个标准直角坐标系，平面中的点可以用横坐标和纵坐标表示，整个平面可以等价于 $\mathbb {R} ^{2}$ 。

设 $E$ 是 $\mathbb {R} ^{2}$ 的一个非空子集。如果某直线 ${\mathcal {l}}$ 经过 $E$ 中不同的两点，就说 ${\mathcal {l}}$ 是 $E$ -尺规可作的，简称 $E$ -可作。同样地，如果某个圆 ${\mathcal {C}}$ 的圆心和圆上的某个点是 $E$ 中的元素，就说 ${\mathcal {C}}$ 是 $E$ -可作的。进一步地说，如果 $\mathbb {R} ^{2}$ 里的某个点 $P$ 是某两个 $E$ -可作的直线或圆的交点（直线－直线、直线－圆以及圆－圆），就说点 $P$ 是 $E$ -可作的。这样的定义是基于五个基本步骤得来的，包括了尺规作图中从已知条件得到新元素的五种基本方法。如果将所有 $E$ -尺规可作的点的集合记作 $s(E)$ ，那么当 $E$ 中包含超过两个点的时候， $E$ 肯定是 $s(E)$ 的真子集。从某个点集 $E 0$ 开始，经过一步能作出的点构成集合 $E 1$ $=$ $s(E)$ ，经过两步能作出的点就是 $E 2$ $=$ $s(E 1)$ ，……以此类推，经过 $n$ 步能作出的点集就是 $E n$ $=$ $s(E n-1)$ 。而所有从 $E$ 能尺规作出的点集就是：

C(\mathrm {E} _{0})=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\mathrm {E} _{n}

。^[4]^:521

另一个与尺规可作性相关的概念是规矩数。设 $H$ 是从集合 $E 0$ $=$ {(0,0), (0,1)}开始，尺规可作点的集合： $H$ $=$ $C (E 0)$ ，那么规矩数定义为 $H$ 中的点的横坐标和纵坐标表示的数。

定义：实数

a

和

b

是规矩数当且仅当

(a, b)

是

H

中的一个点。^[4]^:522

可以证明，有理数集 $\mathbb {Q}$ 是所有规矩数构成的集合 $K$ 的子集，而 $K$ 又是实数集 $\mathbb {R}$ 的子集。另外，为了在复数集 $\mathbb {C}$ 内讨论问题，也会将平面 $\mathbb {R} ^{2}$ 看作复平面 $\mathbb {C}$ ，同时定义一个复数 $a+bi$ 是（复）规矩数当且仅当点 $(a, b)$ 是 $H$ 中的一个点。所有复规矩数构成的集合 $L$ 也包含 $\mathbb {Q}$ 作为子集，并且是复数集 $\mathbb {C}$ 的子集。从尺规可作性到解析几何下的规矩数，三等分角问题从几何问题转成了代数的问题。^[4]^:522

域的扩张与最小多项式

以集合的观念来说， $L$ 与 $\mathbb {Q}$ 、 $\mathbb {C}$ 之间是子集与包含的关系。以抽象代数的观点来说，可以证明 $L$ 是有理数域 $\mathbb {Q}$ 的扩域，是实数域 $\mathbb {C}$ 的子域。记作 $\mathbb {Q} \subseteq \mathrm {L} \subseteq \mathbb {C}$ 。域是抽象代数中的概念，是能够进行“加减乘除”运算的集合。从单位长度出发，很容易得到任何有理数长度的线段，所以直线 $OA$ （也就是实数轴）上所有的有理数坐标的点都是尺规可作点^[1]。如果平面上还有另一个尺规可作点（对应复数 $z$ ），那么也能做出任意 $pz+q$ 的点，甚至于任何形如：

{\frac {P_{1}(z)}{P_{2}(z)}}

的点（其中 $P 1$ 和 $P 2$ 是两个多项式）。有理数域 $\mathbb {Q}$ 和所有因为 $z$ 而多出来的尺规可作点仍旧构成一个域，称为 $\mathbb {Q}$ 关于 $z$ 的扩张，记作 $\mathbb {Q} (z)$ 。然而， $\mathbb {Q} (z)$ 中的元素并没有表面上那么“多”。一般来说，如果有一个多项式 $P$ 使得 $P(z)$ =0，那么 $\mathbb {Q} (z)$ 中的元素都可以写成 $λ 1 +λ 2 z+...+λ d z d-1$ 的形式，其中 $d$ 是 $P$ 的阶数。这样的情况称为域 $\mathbb {Q}$ 的有限扩张，因为 $\mathbb {Q} (z)$ 可以看成关于 $\mathbb {Q}$ 的有限维线性空间。为了确定这个线性空间的维数，需要为它找一个基底，也就是一个线性无关的最小生成集。为此，寻找使得 $m(z)$ $=$ 0的多项式中阶数最小的，并称 $m$ 是 $z$ 最小多项式。在最小多项式确定后，便可确定 $1, z, ... , z d m -1$ 是 $\mathbb {Q} (z)$ 的一个基底， $\mathbb {Q} (z)$ 是一个 $d m$ 维的 $\mathbb {Q}$ -线性空间（ $d m$ 是 $m$ 的阶数）^[5]^:68。这时候也称 $d m$ 是域扩张 $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} (z)$ 的阶数，记作：

[\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} ]=\mathrm {d} _{m}

^[4]^:512

规矩扩张的阶数

对任何一个尺规可作点，都可以考察它对应的域扩张的阶数。由于每个尺规可作点都是通过五种作图公法的有限次累加得到的，而其中生成新点（也就是新坐标）的只有後三种。所以只需考察这三种步骤得到的新点对应的域扩张的阶数。假设某个时刻，已知的所有尺规可作点构成的域是 $L$ ，那么生成新点时的直线和圆的系数都在 $L$ 里面。

直线的方程是：

ax+by+c=0,\quad a,b,c\in \mathrm {L} ,\qquad \qquad \cdots \;\;(1)

圆的方程是：

(x-c_{1})^{2}+(y-c_{2})^{2}=r^{2},\quad c_{1},c_{2},r\in \mathrm {L} .\qquad \qquad \cdots \;\;(2)

无论是两个(1)类方程，两个(2)类方程，还是一个(1)类和一个(2)类方程联立求解，得到的 $x$ 和 $y$ 值都会是形同

{\begin{cases}x=p_{1}+q_{1}{\sqrt {t}}&p_{1},\;q_{1},\;t\;\in \mathrm {L} \\y=p_{2}+q_{2}{\sqrt {t}}&p_{2},\;q_{2}\;\in \mathrm {L} \end{cases}}

的数值。所以复规矩数 $z$ $=$ $x + yi$ 满足一个二次方程：

(z-(p_{1}+p_{2}i))^{2}=t(q_{1}+q_{2}i)^{2}

其中的 $p 1 + p 2 i$ 、 $q 1 + q 2 i$ 以及 $t$ 都是 $L$ 中的元素^[4]^:523^[5]^:78-79。这意味着，域扩张 $L\subseteqL(z)$ 的阶数最多是2（最小多项式的阶数至多是2）^[1]。这又说明，从 $L$ 开始，经过一系列（ $n$ 次）基本步骤得到的尺规可作点，代表了 $n$ 次域扩张：

\mathrm {L} \subseteq \mathrm {L} _{1}\subseteq \cdots \subseteq \mathrm {L} _{n}

。

而每次域扩张的阶数： $[L k : L k-1]$ 都不超过2。因此，如果从基本的有理数域出发的话，就能得到如下的定理：^[4]^:523-524^[1]

任何复规矩数

z

对应的域扩张

\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} (z)

的阶数

[\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} ]

都是2的某个幂次：

[\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} ]=2^{s}

其中的 $s$ 是某个小于 $n$ 的自然数（ $n$ 是已知所有有理数坐标点时，作出 $z$ 对应的点要经过的基本步骤数目）。

三等分角的反证

上文已经说明，任何可以用尺規作圖作出的点，其座標对应一个复規矩數，它的最小多項式次數為 $2^{s}$ 。以下用反证法证明三等分任意角是不可能的。反設可以用尺規作圖將任意角三等分，代表對任意角度是 $\theta$ 的角，均可以由尺規作圖得到角度为 ${\frac {\theta }{3}}$ 的角。这等价于说在已知单位长度和 $\cos {\theta }$ 的时候能做出 $\cos {\frac {\theta }{3}}$ 的长度。设 $L$ 是包含了 $\cos {\theta }$ 和单位长度1的域。用尺规作图可以得到 $z=\cos {\frac {\theta }{3}}$ ，说明域扩张的阶数是2的幂次：

[\mathrm {L} (z):\mathrm {L} ]=2^{s}

然而根據三倍角公式：

\cos \theta =4\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\cos {\frac {\theta }{3}}=4z^{3}-3z

。

运用多项式的知识可以证明， $z$ 在 $L$ 中的最小多项式的阶数必定不大于3，也就是说是1，2或者3^[4]^:512。比如说当角度 $\theta =60^{\circ }$ 时， $L$ 就是 $\mathbb {Q}$ （ $\cos {\theta }={\frac {1}{2}}\in \mathbb {Q}$ ）三倍角公式变成：

4z^{3}-3z=\cos {60^{\circ }}={\frac {1}{2}}

，即是：

8z^{3}-6z-1=0

这个多项式不可约，所以这个方程的解不属于有理数集 $\mathbb {Q}$ ，所以可以证明 $[\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} ]=3$ 。^[1]然而3不是2的幂次，这和之前的结论矛盾。如此便说明，無法用尺規作圖將任意角三等分^[4]^:525-526。 $\Box$

能够尺规三等分的角度

以上的证明通过一个反例： $\theta =60^{\circ }$ 说明了用尺规作图将任意角三等分是不可能的。但用尺规作图三等分某些特定的角（比如说直角）仍然是可行的^[1]。事实上，从证明中可以看出，尺规三等分某个角 $\theta$ 等价于说 $[\mathrm {L} (\cos {\frac {\theta }{3}}):\mathrm {L} ]=1$ ^[5]^:58。要注意的是，这个条件与 $\cos {\theta }$ 本身能否用尺规作图作出并不相关。实际上，有的角度 $\theta$ 即便本身无法用尺规作图法作出，但如果已知角 $\theta$ 作为条件，是能够用尺规作图将它三等分的。角度 $3\pi /7$ 就是这样一个例子。它本身无法用尺规作出，但如果给定一个 $3\pi /7$ 的角，它的五倍角就是 $15\pi /7$ ，等于将圆周绕过一圈後的 $\pi /7$ ，这正是 $3\pi /7$ 的三分之一。可以证明，角度 $2\pi /N$ 可以用尺规三等分，当且仅当自然数 $N$ 本身无法被三整除。

从证明中还可看出，只要自然数 $k$ 只含有2以外的质因子，根据 $k$ 倍角公式得到的 $k$ 阶多项式就说明 $\cos {\frac {\theta }{k}}$ 的最小多项式阶数整除 $k$ ，所以不是2的幂次，从而无法用尺规作图 $k$ 等分任意角。例如用尺规作图五等分任意角、七等分任意角等等都是不可能的（ $2\pi /N$ 可以五等分，當且僅當 $N$ 不是5的倍數；而不管 $N$ 是多少， $2\pi /N$ 都不能七等分，因為正七邊形本身就不能尺規作圖了）。

三等分角的方法

用尺规作图的方法三等分角被证明是不可行的。如果放宽尺规作图的限制，或允许使用另外的工具，那么三等分任意角仍旧是可能的。

无限次步骤

尺规作图要求在有限次步骤内将任意角三等分。如果我们允许使用无限次的步骤来构造三等分角的话，可以利用

{\frac {1}{3}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots

这个无穷级数的和来实现。给定任意一的角度为 $\theta$ 的角。已知尺规二等分角是可行的，所以重复两次就能够四等分一个角 $\theta$ ，得到 ${\frac {\theta }{4}}$ 。同样地，可以作出 ${\frac {\theta }{4^{2}}}$ 、 ${\frac {\theta }{4^{3}}}$ 等所有形同 ${\frac {\theta }{4^{n}}}$ 的角。将它们逐次相加，就能够在无限次（可数次）操作後用尺规作图得到

{\frac {\theta }{4}}+{\frac {\theta }{4^{2}}}+{\frac {\theta }{4^{3}}}+\cdots ={\frac {\theta }{3}}

。^[1]

二刻尺

如果允许使用有刻度的直尺（二刻尺），则三等分任意角是可行的。右图为把角 $a$ 三等分的示意图。这个想法最早由阿基米德提出^[3]^:4。

首先，在直尺上有两个刻度，相距 $AB$ 。把角上的直线延长，并作一个半径为 $AB$ 的圆。

把直尺的一点固定在 $A$ ，并将直尺绕着点 $A$ 移动，直到其中一个刻度位于点 $C$ ，另一个刻度位于点 $D$ ，也就是说， $CD$ $=$ $AB$ 。这时，角 $b$ 就是角 $a$ 的三分之一。

要證明 $a=3b$ ，我們需要利用直線上的鄰角(adjacent angles on straight line)，三角形的內角和(angle sum of triangle)及等腰三角形底角(base angle, isosceles triangle)。

证明：

$e+c=180^{\circ }$ 。
$e+2b=180^{\circ }$ 。
两式相减，得 $c=2b$ 。
$d+2c=180^{\circ }$ ，因此 $d=180^{\circ }-2c$ ，把上式代入，得 $d=180^{\circ }-4b$ 。
$a+d+b=180^{\circ }$ ，因此 $a+(180^{\circ }-4b)+b=180^{\circ }$ 。

所以， $a-3b=0$ ，或 $a=3b$ 。证毕。^[1]^[3]^:4-5

或者，可以利用三角形的外角(Exterior Angle of a Triangle)作證明。

$b+b=c$

$b+c=a$

$\Rightarrow {b}+2b=a$

$\Rightarrow {a}=3b$

同樣也可證明。

借助其他形状或工具

尺规作图的规定来自于古希腊的柏拉图学派，他们认为仅有直线和圆是完美的形状。事实上，如果允许在作图中使用其他的曲线或形状，那么三等分任意角是可行的。例如：已知角 $AOB$ ，做其角平分线 $OC$ 。以直线 $OC$ 为准线，点 $A$ 为焦点，作一双曲线；同时以 $O$ 为圆心， $OA$ 为半径做圆。设该圆与双曲线在角 $AOB$ 内侧的交点为 $D$ ，那么角 $AOD$ 等于角 $AOB$ 的三分之一。^[1]此外，麦克劳林、利马松等人也曾经设计过可以辅助三等分角的曲线。阿基米德螺线（等角螺线）也是能够直观帮助三等分角的曲线。在极坐标中，阿基米德螺线的方程是：

\rho =c\theta

其中的 $\rho$ 是极径（离原点的距离）， $\theta$ 是幅角。由于极径和幅角成正比，所以要寻找等于给定角度三分之一的角度，只需要确定原角度对应的极径长度 $\rho _{0}$ ，然后对比找出 ${\frac {\rho _{0}}{3}}$ 对应的角度即可。^[3]^:8

参考来源

^ ^1.00 ^1.01 ^1.02 ^1.03 ^1.04 ^1.05 ^1.06 ^1.07 ^1.08 ^1.09 ^1.10 ^1.11 ^1.12 曹亮吉. 《三等分任意角可能吗？》. 原載於科學月刊第九卷第四期. http://episte.math.ntu.edu.tw. [2013-05-28]. （原始内容存档于2014-06-23）. 外部链接存在于|publisher= (帮助)
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外部链接

HPM 通訊第6卷第6期，3大作圖題（页面存档备份，存于互联网档案馆）介紹在較寬鬆的條件下（允許使用有刻度的直尺或配合其他曲線）用尺規作圖，來求解三等分角問題。
三等分任意角可能嗎？（页面存档备份，存于互联网档案馆）

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