LIMSwiki

Adını İngiliz fizikçi Paul Dirac'tan alan spinli ve göreli kuantum mekaniği denklemi,

\gamma ^{\mu }p_{\mu }c\mathbf {\Psi } =m_{0}c^{2}\mathbf {\Psi }

şeklinde ifade edilebilir. Burada;

m_0 : parçacığın durağan kütlesini,

c : ışık hızını,

p_{\mu }

: dörtmomentumu,

\gamma ^{\mu }

: Dirac matrislerini

göstermektedir. Ayrıca $\Psi$ , dört tane karmaşık sayıdan oluşan bir kolon matristir ve olasılığın dalga fonksiyonudur. Bu dört sayı da iki gruba ayrılır:

\Psi ={\begin{bmatrix}\Psi ^{+}\\\Psi ^{-}\end{bmatrix}}

Buradaki $\Psi ^{+}$ ve $\Psi ^{-}$ , Dirac dönücüleri olarak adlandırılır ve her birinin farklı bir fiziksel anlamı vardır. $\Psi ^{+}$ dönücüsü, pozitif enerjileri, $\Psi ^{-}$ negatif enerjileri ifāde eder. Bunlar da

\Psi ^{+}={\begin{bmatrix}\psi ^{+}\\\phi ^{+}\end{bmatrix}}

ve

\Psi ^{-}={\begin{bmatrix}\psi ^{-}\\\phi ^{-}\end{bmatrix}}

olarak tanımlanır. $\psi$ yukarı dönü ve $\phi$ aşağı dönü olarak anlam kazanır. Yani, dalga fonksiyonu;

\Psi ={\begin{bmatrix}\psi ^{+}\\\phi ^{+}\\\psi ^{-}\\\phi ^{-}\end{bmatrix}}

şeklindedir.

Serbest parçacık için Dirac denklemi

Dırac denklemlerinde $\mu =0$ bileşenini ayırıp gerisi için i=1,2,3 indisini bırakırsak (bknz. Minkowski uzayzamanı), Dirac denklemi;

\gamma ^{0}p_{0}c\mathbf {\Psi } +\gamma ^{i}p_{i}c\mathbf {\Psi } =m_{0}c^{2}\mathbf {\Psi }

biçiminde yazılabilir. Dirac matrisleri; I, birim matris olmak üzere

\gamma ^{0}={\begin{bmatrix}0&&I\\I&&0\end{bmatrix}}

ve

\gamma ^{i}={\begin{bmatrix}0&&\sigma ^{i}\\-\sigma ^{i}&&0\end{bmatrix}}

olarak Pauli matrisleri cinsinden yazılabilir. Bunlar yerine konunca Dirac denklemi,

{\begin{bmatrix}0&&p_{0}c+\sigma ^{i}p_{i}c\\p_{0}c-\sigma ^{i}p_{i}c&&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi ^{+}\\\Psi ^{-}\end{bmatrix}}=m_{0}c^{2}{\begin{bmatrix}\Psi ^{+}\\\Psi ^{-}\end{bmatrix}}

biçimini alır. Matris çarpımı yapılırsa, çiftlenimli denklemler elde edilir:

\left(p_{0}c-\sigma ^{i}p_{i}c\right)\Psi ^{-}=m_{0}c^{2}\Psi ^{+}

\left(p_{0}c+\sigma ^{i}p_{i}c\right)\Psi ^{+}=m_{0}c^{2}\Psi ^{-}

Bu özdeğer denklemlerini çözmek için, dönücülerden biri çekilip diğer denklemde yerine yazılabilir. Buradan, göreliliğin en önemli denklemlerinden biri elde edilir: