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Em teoria dos conjuntos, quando todo elemento de um conjunto $A$ é também elemento de um conjunto $B$ , dizemos que $A$ é um subconjunto de $B$ , denotado $A\subseteq B$ (também dito " $A$ é uma parte de $B$ " ou " $A$ está contido em $B$ "). De forma complementar, $B$ é chamado um superconjunto de $A$ , simbolizado como $B\supseteq A$ (também dito " $B$ contém $A$ " ou " $B$ tem $A$ como parte").^[1] Esta relação é conhecida por inclusão de conjuntos. Em linguagem simbólica, utilizando a noção de quantificação universal (∀), temos: $A\subseteq B{\stackrel {\mathbf {def} }{=\!=}}\forall x(x\in A\rightarrow x\in B).$

Propriedades

A inclusão de conjuntos é uma relação reflexiva, ou seja, $A\subseteq A$ qualquer que seja o conjunto $A.$
Realmente, a condicional $p\rightarrow p$ é uma tautologia. Assim, $x\in A\rightarrow x\in A$ tanto se $x\in A$ como também se $x\not \in A.$ E, por definição, $\forall x(x\in A\rightarrow x\in A)\Rightarrow A\subseteq A.$
A inclusão de conjuntos é uma relação transitiva, ou seja, se $A\subseteq B$ e $B\subseteq C,$ então $A\subseteq C.$
Se $A=\varnothing ,$ $A\subseteq C$ (e assumir que $B\subseteq C$ é irrelevante). Então, assuma que $A\neq \varnothing$ e seja $x\in A.$ Por hipótese, $A\subseteq B$ e, pela definição de inclusão, $x\in B.$ Assim, $B\neq \varnothing .$ Também por hipótese $B\subseteq C,$ isto é, se $y\in B$ também $y\in C.$ Em particular, para $y=x$ temos $x\in C.$ Como $x\in A$ era arbitrário, todo elemento de $A$ é também elemento de $C,$ ou seja, $A\subseteq C.$
A inclusão de conjuntos é uma relação antissimétrica, ou seja, se $A\subseteq B$ e $B\subseteq A,$ então $A=B.$
De fato, isto é o que diz o axioma da extensão.
Pelas três propriedades acima, dado um conjunto não-vazio $A$ e uma coleção ${\mathcal {C}}$ de subconjuntos de $A,$ a relação de inclusão $\subseteq$ é uma relação de ordem parcial em ${\mathcal {C}}.$
A inclusão de conjuntos é a relação de ordem parcial canônica — no sentido de que todo conjunto parcialmente ordenado (X, $\preceq$ ) é isomorfo a alguma coleção de conjuntos ordenada pela inclusão. Os números ordinais constituem um exemplo simples — se cada ordinal $n$ é identificado com o conjunto $[n]$ de todos os ordinais menores ou igual a $n,$ então $a\leq b$ se e somente se $[a]\subseteq [b].$

Subconjunto próprio

Dizemos que um conjunto $B$ é um subconjunto próprio de um conjunto $A$ se $B\subseteq A$ ( $B$ é subconjunto de $A$ ) e $B\neq A$ ( $B$ é diferente de $A$ ). Explicitamos este fato com a notação especial $B\subsetneq A;$ ou ainda $A\supsetneq B$ (lê-se: A é um superconjunto próprio de B). Isto quer dizer que $B$ está estritamente contido em $A,$ ou seja, existe pelo menos um $x\in A$ tal que $x\not \in B.$ Em particular, o conjunto vazio é um subconjunto próprio de todo conjunto não-vazio. E, evidentemente, $A$ é o único subconjunto de um conjunto $A\neq \varnothing$ que não é próprio. Assim, dizemos que $A$ é um subconjunto impróprio (superconjunto impróprio) de $A.$

Exemplos

O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto dado.
O conjunto {1, 2} é um subconjunto próprio de {1, 2, 3}.
O conjunto {x : x é um número primo maior do que 10} é um subconjunto próprio de {x : x é um número ímpar maior do que 10}.
O conjunto dos números naturais é um subconjunto próprio do conjunto dos números inteiros, com a mesma cardinalidade.
O conjunto dos números naturais é um subconjunto próprio do conjunto dos números reais, com cardinalidade inferior.

Ver também

Notas

↑ Uma notação alternativa para $A$ é subconjunto de $B$ , tão comum quanto $A\subseteq B,$ é $A\subset B.$ Similarmente, usa-se também $B\supset A$ para denotar que $B$ é superconjunto de $A$ .

Referências

Jech, Thomas (2002). Set Theory. [S.l.]: Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2

Ligações externas

"Subset", "Superset", "Proper Subset" e "Improper Subset" in MathWorld (em inglês)
"Subset" in ProofWiki (em inglês)

[1] Uma notação alternativa para $A$ é subconjunto de $B$ , tão comum quanto $A\subseteq B,$ é $A\subset B.$ Similarmente, usa-se também $B\supset A$ para denotar que $B$ é superconjunto de $A$ .

[1]

Teoria dos conjuntos
Axiomas	Axioma da escolha Axioma da escolha numerável Princípio da Escolha Dependente Axioma da extensão Axioma do infinito Axioma do par Axioma da potência Axioma da regularidade Axioma da união Axioma da substituição Axioma da separação Hipótese do continuum Axioma de Martin Propriedade de grande cardinal
Operações	Produto cartesiano Teoremas de De Morgan Interseção Conjunto de partes Complementar Diferença simétrica União
Conceitos	Cardinalidade Número cardinal Classe Universo construível Elemento Família Função bijectiva Número ordinal Indução transfinita Diagrama de Venn
Conjuntos	Argumento de diagonalização de Cantor Conjunto contável Conjunto vazio Conjunto finito Conjunto difuso Conjunto hereditariamente finito Conjunto infinito Conjunto recursivo Subconjunto Conjunto transitivo Conjunto não enumerável Conjunto universo
Teorias	Teoria axiomática dos conjuntos Teorema de Cantor Forçamento Teoria de conjuntos de Morse–Kelley Teoria ingênua dos conjuntos New Foundations Paradoxos Principia mathematica Paradoxo de Russell Problema de Suslin NBG Teoria de conjuntos de Zermelo ZFC Teorias de conjuntos alternativas
Pessoas	Abraham Fraenkel Bertrand Russell Ernst Zermelo Georg Cantor John von Neumann Kurt Gödel Lotfali Askar-Zadeh Paul Bernays Paul Cohen Richard Dedekind Thomas Jech Willard Quine