LabLynx Wiki

En distributiv lov er i matematikk et teorem eller et aksiom som sier at en gitt binær operasjon A i en mengde M er distributiv med hensyn på en annen binær operasjon B. Dette er tilfelle dersom de to operasjonene oppfyller relasjonen

uA(vBw)=(uAv)B(uAw).\,

for all u, v og w i mengden M.^[1]

I mengden av reelle tall er multiplikasjon distributiv med hensyn på addisjon:

3\times (7+4)=(3\times 7)+(3\times 4).\,

En distributive lov gir en relasjon mellom to operasjonene når de opptrer sammen i et matematisk uttrykk. Relasjonen blir ofte postulert i aksiomer som definerer operasjonene. Dette gjelder for eksempel for kroppsaksiomene for addisjon og multiplikasjon av reelle tall.^[2]

En algebraisk struktur er distributiv dersom den har to binære operasjoner som oppfyller en distributiv lov.

Formell definisjon

Gitt en mengde S og to binære operasjoner $\otimes$ og $\oplus$ .

Operasjonen $\otimes$ er venstresidig distributiv med hensyn på $\oplus$ dersom

x\otimes (y\oplus z)=(x\otimes y)\oplus (x\otimes z)\qquad {\mbox{for alle }}x,y,z\in S.

Operasjonen $\otimes$ er høyresidig distributiv med hensyn på $\oplus$ dersom

(y\oplus z)\otimes x=(y\otimes x)\oplus (z\otimes x)\qquad {\mbox{for alle }}x,y,z\in S.

Operasjonen $\otimes$ er distributiv med hensyn på $\oplus$ dersom den er både venstresidig og høyresidig distributiv. Egenskapen kan også uttrykkes som at $\otimes$ distribuerer over $\oplus$ .

Eksempler

I mengden av reelle og komplekse tall er multiplikasjon distributiv med hensyn addisjon og subtraksjon. Det motsatte er ikke tilfelle.

I mengden av reelle tall er maksimumsoperasjonen distributiv over minimumsoperasjonen - og også omvendt:

\max(a,\min(b,c))=\min(\max(a,b),\max(a,c))\,

\min(a,\max(b,c))=\max(\min(a,b),\min(a,c))\,

I mengden av reelle tall er addisjon distributiv over både maksimum- og minimumsoperasjonen:

a+\max(b,c))=\max(a+b,a+c)\,

a+\min(b,c))=\min(a+b,a+c)\,

I mengdelære er operasjonen union distributiv med hensyn på snittet - og også omvendt:

\left.{\begin{matrix}A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\\A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\end{matrix}}\quad \right\}{\mbox{for alle mengder }}A,B,C.

Kryssproduktet av to vektorer i R³ er distributivt med hensyn på vektoraddisjon:

\left.{\begin{matrix}(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\times \mathbf {w} \neq \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )\end{matrix}}\right\}{\mbox{for alle }}\mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} \in \mathbf {R}

Distributivitet i matematiske strukturer

I en kropp er både multiplikasjonen distributiv med hensyn på addisjonen. Det samme gjelder for en ring.

I en algebra er produktet distributivt med hensyn på vektoraddisjonen.

I et vektorrom er skalarmultiplikasjon distributiv med hensyn på vektoraddisjon.

Se også

Referanser

^ , E.J.Borowski, J.M.Borwein,1989, Distributive, s.173
^ W.Rudin, 1976, s.6

Litteratur

E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989). Dictionary of mathematics. Glasgow: Collins. ISBN 0-00-434347-6.

Walter Rudin (1976). Principles of mathematical analysis. Singapore: McGraw-Hill International Book Co. ISBN 0-07-085613-3.

[EJBB1-1] , E.J.Borowski, J.M.Borwein,1989, Distributive, s.173

[WR1-2] W.Rudin, 1976, s.6

[1]

[2]