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Il radiante (generalmente indicato rad quando necessario) è l'unità di misura dell'ampiezza degli angoli del Sistema internazionale di unità di misura. Tale misura rappresenta il rapporto tra la lunghezza dell'arco di circonferenza tracciato dall'angolo e la lunghezza del raggio di tale circonferenza; essendo il rapporto tra due grandezze omogenee, è un numero puro.
Definizione di radiante
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4e/Circle_radians.gif/220px-Circle_radians.gif)
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Radian-common.svg/400px-Radian-common.svg.png)
Si prenda una circonferenza con centro nel vertice dell'angolo. Siano la lunghezza dell'arco intercettato dall'angolo sulla circonferenza, quella del raggio della circonferenza, quella della circonferenza e l'ampiezza dell'angolo. Il rapporto non dipende dalla lunghezza del raggio, ma solo dall'ampiezza dell'angolo. Questa circostanza permette di definire la misura in radianti dell'angolo come:
Da ciò si evince che il radiante è un numero puro, ossia è adimensionale, dato che esprime il rapporto fra due lunghezze.
Infatti: [rad] = [L] / [L] = [1].
Definiamo come radiante l'ampiezza dell'angolo che sottende un arco di circonferenza che, rettificato, abbia lunghezza uguale al raggio della circonferenza stessa. In parole povere un radiante è l'angolo che si ha in corrispondenza di un arco di lunghezza pari al raggio della circonferenza.
Essendo la lunghezza della circonferenza pari a e il raggio lungo , l'angolo di un cerchio equivale a .
Ricordando che la misura della lunghezza della circonferenza è:
si può scrivere la seguente proporzione:
risulta funzione di :
ossia
da cui
Dunque, ponendo , dall'equazione precedente si ottiene:
Esprimiamo ora un angolo giro in radianti:
Con la seguente proporzione si ottengono le formule per passare da radianti a gradi sessagesimali e viceversa:
Utilità della scelta del radiante
La misura del radiante consente di avere formule trigonometriche molto più semplici di quelle che si avrebbero adottando i gradi sessagesimali o altre unità di misura degli angoli.
Sostanzialmente i vantaggi del radiante derivano dal fatto che, con tale unità si ottiene la semplice espressione
e da questa si ottengono molte altre eleganti identità del calcolo infinitesimale che hanno importanti conseguenze pratiche. Tra queste
Se si misurassero gli angoli in gradi o in altre unità di misura, formule come le precedenti dovrebbero essere appesantite da costanti di conversione e da loro potenze.
Conversione gradi-radianti
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/be/Degree-Radian_Conversion_it.svg/310px-Degree-Radian_Conversion_it.svg.png)
Un radiante è pari a gradi. Per convertire radianti in gradi è quindi sufficiente moltiplicare per :
Ad esempio:
Analogamente, per convertire gradi in radianti si moltiplica per π/180:
Ad esempio:
|
|
Si ha quindi:
- 1 rad = 57,29577 95131 gradi = 3437,74677 07849 primi = 206264,80625 secondi;
- 1 grado = 0,01745 32925 19943 rad;
- 1 primo = 0,00029 08882 08666 rad;
- 1 secondo = 0,00000 48481 36811 rad.
Bibliografia
- G. Zwirner, L. Scaglianti, Itinerari di Matematica Volume primo, Padova, Cedam, 1989, ISBN 88-13-16794-6
Voci correlate
Altri progetti
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Collegamenti esterni
- (EN) radiant / radian, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (EN) Eric W. Weisstein, Radiante, su MathWorld, Wolfram Research.