The US FDA’s proposed rule on laboratory-developed tests: Impacts on clinical laboratory testing

في الرياضيات، متسلسلة القوى (بالإنجليزية: Power series)‏ (ذات المتغير الواحد) هي متسلسلة لامنتهية على الشكل

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots

حيث تمثل a_n معاملات المتسلسلة و c المركز وx تكون عادة عددا حقيقيا أو عقديا.

تتشكل هذه المتسلسلات عادة من توابع معروفة بطريقة مشابهة لمتسلسلات تايلور.

في العديد من الحالات، يكون المركز c مساويا للصفر، مثلا كما في حالة متسلسلة ماكلاورين. في هذه الحالات تأخذ متسلسلات القوى شكلا أبسط :

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots .

يُمكن أن ينظَر إلى التمثيل العشري الاعتيادي للأعداد الحقيقية مثالا عن متسلسلات القوى بمعاملات صحيحة وبقيمة ثابتة ل x هي 1/10.^[1]^[2]^[3] على سبيل المثال،

3.14=3*{(1/10)}^{0}+1*{(1/10)}^{1}+4*{(1/10)}^{2}

أمثلة

يمكن كتابة كل متعددة حدود على شكل متسلسلة لانهائية. مثلا : $f(x)=x^{2}+2x+3$ يمكن كتابته بالشكل التالي : ...+f(x)=3 + 2x + x²+0x³+0x⁴

المتسلسلة الهندسية : ${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,$ حيث 1 >|x| .

معادلة الدالة الاسية : $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,$
معادلة الجيب : $\sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,$

الاثنان الأخيران هما أيضا امثلة لمتسلسلات تايلور.

قطر ومجال التقارب

إذا تقاربت متسلسلة ما للقوى في النقطة $x=\alpha$ ، فإن المتسلسلة تتقارب بالتأكيد لكل x يحقق $|x|<|\alpha |$ . مجال التقارب هو القطعة المفتوحة $(-\alpha ,\alpha )$ .

لكل متسلسلة قوى يوجد عدد ليس سالبا R ،( $0\leq R<\infty$ ) حيث لكل x يحقق |R > |x المتسلسلة تتقارب وإذا |R < |x، المتسلسلة لا تتقارب. إذا كان R مساويا للصفر، المتسلسلة تتقارب فقط في النقطة x=0. إذا R=∞; حينها المتسلسلة تتقارب لكل x. يسمى R نصف قطر التقارب أو قطر التقارب أو شعاع التقارب للمتسلسلة.

حسب مبرهنة كوشي-هادامار قطر التقارب للسلسلة $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ هو :

R=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}

العمليات على متسلسلات القوى

الجمع والطرح

عندما يُعبر عن دالتين اثنتين f و g بمتسلسلتي قوى حول نفس المركز c، فإنه يُحصل على متسلسلة القوى لمجموعها أو فرقهما بجمع أو طرح، على التوالي، حدود هاتين المتسلسلتين، حدا بِحد. أي أنه :