Practical Applications of a SDMS (Scientific Data Management System)

Macierz transponowana, macierz przestawiona^[1] macierzy $A$ – macierz $A^{\mathrm {T} },$ która powstaje z danej macierzy (w ogólności prostokątnej, w szczególności jednowierszowej czy o jednej kolumnie) poprzez zamianę jej wierszy na kolumny i kolumn na wiersze^[1]^[2]. Operację tworzenia macierzy transponowanej nazywa się transpozycją (przestawianiem).

Jeżeli macierz $A$ ma wyrazy $a_{ij}$ (element $a_{ij}$ macierzy znajdujący się na przecięciu $i$ -tego wiersza i $j$ -tej kolumny), a macierz transponowana $A^{\mathrm {T} }$ ma wyrazy $a_{ij}^{\mathrm {T} },$ to zachodzi związek

a_{ij}^{\mathrm {T} }=a_{ji}.

Przykład

(1) Transponować można macierz w ogólności prostokątną, np. gdy

A={\begin{bmatrix}2&3&1&4\\-1&2&0&1\\2&2&0&1\end{bmatrix}}

to macierz transponowana ma postać:

A^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}2&-1&2\\3&2&2\\1&0&0\\4&1&1\end{bmatrix}}.

(2) W szczególności wektor kolumnowy przechodzi w wektor wierszowy, np. gdy

A={\begin{bmatrix}2\\1\\5\end{bmatrix}},

to

A^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}2,1,5\end{bmatrix}}.

Transpozycja macierzy symetrycznej

Macierz symetryczna^[3] – macierz ta ma identyczne wyrazy leżące symetrycznie względem swojej przekątnej głównej, np.

{\begin{bmatrix}7&0\\0&0\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}2&1&3\\1&6&7\\3&7&9\end{bmatrix}}.

Transpozycja macierzy symetrycznej jest równa tej macierzy, tj.

A^{\mathrm {T} }=A.

Własności operacji transponowania

Tw. 1. Niech $A,B\in M_{n\times m}(K),$ wówczas:

$(A^{\mathrm {T} })^{\mathrm {T} }=A$ ^[4],
$(\alpha A)^{\mathrm {T} }=\alpha A^{\mathrm {T} },\quad \alpha \in K,$
$(A+B)^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }+B^{\mathrm {T} }.$

Tw. 2. Jeśli $A\in M_{n\times m}(K),\ \ B\in M_{m\times o}(K),$ to:

$(AB)^{\mathrm {T} }=B^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }.$

Tw. 3. Dla macierzy kwadratowej: Transpozycja nie zmienia wyznacznika ani śladu macierzy, tj.

$\det A^{\mathrm {T} }=\det A,$
$\operatorname {tr} (A^{\mathrm {T} })=\operatorname {tr} (A).$

Zobacz też

Przypisy

↑ ^a ^b macierz transponowana, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-06-22] .
↑ g, Transpose [online], chortle.ccsu.edu [dostęp 2018-03-17] (ang.).
↑ g, Symmetric [online], chortle.ccsu.edu [dostęp 2018-03-17] (ang.).
↑ g, A Rule for Transpose [online], chortle.ccsu.edu [dostęp 2018-03-17] (ang.).

Bibliografia

H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979.

Linki zewnętrzne

Piotr Stachura, nagrania dla Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-06-22]:

Transponowanie macierzy, 29 kwietnia 2021.
Transpozycja iloczynu macierzy, 30 kwietnia 2021.
Transpozycja sumy macierzy. Transpozycja macierzy odwrotnej, 12 maja 2021.
Rząd macierzy transponowanej równa się rzędowi macierzy, 3 października 2021.

[epwn-1] macierz transponowana, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-06-22] .

[2] , Transpose [online], chortle.ccsu.edu [dostęp 2018-03-17] (ang.).

[3] , Symmetric [online], chortle.ccsu.edu [dostęp 2018-03-17] (ang.).

[4] , A Rule for Transpose [online], chortle.ccsu.edu [dostęp 2018-03-17] (ang.).

[1]

[2]

[3]

[4]