Knowledge Base Wiki

Guľa alebo presnejšie uzavretá guľa je množina všetkých bodov euklidovského priestoru, ktorých vzdialenosť od pevného bodu (t.j. od tzv. stredu gule) nie je väčšia ako pevné reálne kladné číslo (t.j. ako tzv. polomer gule). Množina spomínaných bodov, ktorých vzdialenosť od pevného bodu je práve rovná spomínanému pevnému reálnemu kladnému číslu, sa volá guľová plocha (iné názvy: hranica gule, sféra, sférická plocha).^[1]Uzavretá guľa je teda inými slovami priestorové teleso "ukončené" guľovou plochou. Otvorená guľa alebo vnútro gule je uzavretá guľa bez guľovej plochy.

V topológii znamená n-rozmerná guľa (obvykle sa značí $B_{n}$ ) topologický priestor, ktorý je homeomorfný s n-rozmernou guľou v euklidovskom priestore $\mathbb {R} ^{n}$ .

Objem a povrch všeobecnej gule v euklidovskom priestore

N-rozmerná guľa s polomerom r v euklidovskom priestore $\mathbb {R} ^{n}$ má objem (presnejšie, n-rozmernú Lebesguovu mieru) určený vzorcom

V_{nD}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma (1+{\frac {n}{2}})}}r^{n}

alebo tiež:

V_{nD}={\begin{cases}\left({\frac {n}{2}}!\right)^{-1}\pi ^{\frac {n}{2}}r^{n},&{\mbox{pre }}n{\mbox{ párne}}\\{\frac {2^{\frac {n+1}{2}}}{n!!}}\pi ^{\frac {n-1}{2}}r^{n},&{\mbox{pre }}n{\mbox{ nepárne}}\end{cases}}

kde $\Gamma (1+n/2)$ je prirodzené zobecnenie výrazu $(n/2)!$ pre nepárne n (pozri Gama funkcia) a n!! je dvojitý faktoriál. Je zaujímavé, že jednotková guľa (t. j. guľa s polomerom jedna) má najväčší objem v dimenzii n=5 a vo vyšších dimenziach sa jej objem limitne blíži k nule.

Povrch n-rozmernej gule tvorí (n-1)-rozmernú sféru (pozri sféra). Veľkosť jej povrchu (t. j. jej (n-1)-rozmerný objem, presnejšie, (n-1)-rozmerná Hausdorfova miera) je

S_{nD}=n{\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma (1+{\frac {n}{2}})}}r^{n-1}

alebo

S_{nD}={\begin{cases}n\left({\frac {n}{2}}!\right)^{-1}\pi ^{\frac {n}{2}}r^{n-1},&{\mbox{pre }}n{\mbox{ párne}}\\2^{\frac {n+1}{2}}{\frac {n}{(n!!)}}\pi ^{\frac {n-1}{2}}r^{n-1},&{\mbox{pre }}n{\mbox{ nepárne}}\end{cases}}

Všeobecne pre n-rozmernú guľu platí:

S_{nD}(r)={\frac {\mathrm {d} V_{nD}}{\mathrm {d} r}}=V_{nD}'(r)=n{\frac {V_{nD}(r)}{r}}

Vzorce pre 3-rozmernú guľu

Nasledujúce vzorce popisujú trojrozmernú guľu v $\mathbb {R} ^{3}$

Vzorce pre guľu
Obvod (najväčší)	$U\,=\,2\pi r$
Povrch	$A_{O}\,={\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} r}}\,=\,4\pi r^{2}$
Objem	$V\,=\,{\frac {4}{3}}\pi r^{3}$
Projekčná plocha (plocha tieňa)	$A_{PF}\,=\,\pi r^{2}$
Objem guľového výseku	$V_{KS}\,=\,{\frac {h^{2}\pi }{3}}(3r-h)$
Povrch guľového segmentu	$A_{KK}\,=\,2rh\pi =2r^{2}\pi \left(1-\cos {\frac {\alpha }{2}}\right)$
Polomer gule	$r\,$
Výška guľového segmentu	$h\,$
Moment zotrvačnosti (os prechádza cez stred gule)	$J\,=\,{\frac {2}{5}}mr^{2}$
Steradián	$\alpha \,$

Pôvod vzorca pre výpočet objemu

Každodenný vzorec pre výpočet objemu gule, teda $V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$ pramení z integrálu 3D priestoru, zahrnujúc priestorové uhly:

1) $V=\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{-\pi /2}^{\pi /2}\int \limits _{0}^{r}r^{2}\cos \theta \operatorname {d} \!r\operatorname {d} \!\theta \operatorname {d} \!\phi$ ^[2]

2) $\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{-\pi /2}^{\pi /2}\int \limits _{0}^{r}r^{2}\cos \theta \operatorname {d} \!r\operatorname {d} \!\theta \operatorname {d} \!\phi =\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{-\pi /2}^{\pi /2}{\frac {r^{3}}{3}}\cos \theta \operatorname {d} \!\theta \operatorname {d} \!\phi$

3) $\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{-\pi /2}^{\pi /2}{\frac {r^{3}}{3}}\cos \theta \operatorname {d} \!\theta \operatorname {d} \!\phi ={\frac {r^{3}}{3}}\int \limits _{0}^{2\pi }[\sin \theta ]_{-\pi /2}^{\pi /2}\operatorname {d} \!\phi$

4) ${\frac {r^{3}}{3}}\int \limits _{0}^{2\pi }[\sin \theta ]_{-\pi /2}^{\pi /2}\operatorname {d} \!\phi ={\frac {r^{3}}{3}}\int \limits _{0}^{2\pi }(1-(-1))\operatorname {d} \!\phi$

5) ${\frac {r^{3}}{3}}\int \limits _{0}^{2\pi }(1-(-1))\operatorname {d} \!\phi ={\frac {r^{3}}{3}}\int \limits _{0}^{2\pi }2\operatorname {d} \!\phi$

6) ${\frac {r^{3}}{3}}\int \limits _{0}^{2\pi }2\operatorname {d} \!\phi ={\frac {2r^{3}}{3}}[\phi ]_{0}^{2\pi }={\frac {2r^{3}}{3}}2\pi ={\frac {4\pi r^{3}}{3}}$

Referencie

↑ guľa. In: Encyclopaedia Beliana. 1. vyd. Bratislava : Encyklopedický ústav SAV; Veda, 2008. 670 s. ISBN 978-80-224-0982-7. Zväzok 5. (Galb – Hir), s. 393. ; guľová plocha. In: Encyclopaedia Beliana. 1. vyd. Bratislava : Encyklopedický ústav SAV; Veda, 2008. 670 s. ISBN 978-80-224-0982-7. Zväzok 5. (Galb – Hir), s. 396.
↑ Na čo sú dobré integrály? Ako vznikol vzorec pre výpočet objemu gule | To ako prečo [online]. [Cit. 2023-04-06]. Dostupné online.

Pozri aj

Iné projekty

Commons ponúka multimediálne súbory na tému Guľa (matematika)
Wikicitáty ponúkajú citáty od alebo o Guľa (matematika)

Externé odkazy

Objem a povrch gule

[1] uľa. In: Encyclopaedia Beliana. 1. vyd. Bratislava : Encyklopedický ústav SAV; Veda, 2008. 670 s. ISBN 978-80-224-0982-7. Zväzok 5. (Galb – Hir), s. 393. ; guľová plocha. In: Encyclopaedia Beliana. 1. vyd. Bratislava : Encyklopedický ústav SAV; Veda, 2008. 670 s. ISBN 978-80-224-0982-7. Zväzok 5. (Galb – Hir), s. 396.

[2] Na čo sú dobré integrály? Ako vznikol vzorec pre výpočet objemu gule | To ako prečo [online]. [Cit. 2023-04-06]. Dostupné online.

[1]

[2]