Knowledge Base Wiki

Un spațiu topologic este o mulțime pe care s-a definit o structură pe baza căreia se definesc noțiunile de vecinătate, convergență și limită.

Ca definiție formală, un spațiu topologic este o pereche $(X,{\mathcal {T}})$ , cu ${\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ ( ${\mathcal {P}}(X)$ desemnează mulțimea submulțimilor lui X), satisfăcând simultan următoarele proprietăți:

$\emptyset \in {\mathcal {T}}$ și $X\in {\mathcal {T}}$
dacă $A,B\in {\mathcal {T}}$ , atunci $A\cap B\in {\mathcal {T}}$
dacă ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {T}}$ , atunci $\bigcup {\mathcal {A}}\in {\mathcal {T}}$

Mulțimile din ${\mathcal {T}}$ se numesc mulțimi deschise. Proprietatea 1 spune că mulțimea vidă și spațiul însuși trebuie să fie mulțimi deschise. Proprietatea 2 cere ca orice intersecție de două mulțimi deschise să fie o mulțime deschisă; prin inducție matematică rezultă de aici că intersecția oricărei familii finite de mulțimi deschise este o mulțime deschisă. Proprietatea 3 cere ca reuniunea oricărei familii (nu neapărat finite) de mulțimi deschise să fie o mulțime deschisă.

Exemple

${\mathcal {T}}=\{\emptyset ,X\}$ este topologia „cea mai grosieră” ce poate fi definită pe o mulțime.
${\mathcal {T}}={\mathcal {P}}(X)$ este topologia „cea mai fină” ce poate fi definită, numită topologia discretă.
Dacă d este o funcție distanță (o metrică) definită pe X (X este un spațiu metric), topologia indusă de metrica d are ca mulțimi deschise toate mulțimile care satisfac proprietatea că pentru fiecare punct există o bilă de rază nenulă inclusă în acea mulțime:

{\mathcal {T}}=\{A\in {\mathcal {P}}(X)|\forall x\in A,\exists \varepsilon \in (0,\infty ):B(x,\varepsilon )\subseteq A\}

unde $B(x,\varepsilon )=\{y\in X|d(x,y)<\varepsilon \}$ este bila (deschisă) de centru x și de rază $\varepsilon$ .

Vecinătăți

Articol principal: Vecinătate (matematică).

Se numește vecinătate a unui punct $x\in X$ al unui spațiu topologic orice submulțime $V\subseteq X$ ce conține o mulțime deschisă ce conține punctul $x$ : $\exists D\in {\mathcal {T}}\,:\ x\in D\subseteq V$ .

Submulțimi speciale ale unui spațiu topologic

Mulțimi închise

Articol principal: Mulțime închisă.

O submulțime a unui spațiu topologic X se numește închisă dacă complementul său față de spațiul X este o mulțime deschisă.

Din proprietățile mulțimilor deschisă rezultă că mulțimea vidă, întreg spațiul X, orice reuniune finită de mulțimi închise și orice intersecție (posibil infinită) de mulțimi închise este o mulțime închisă.

Mulțimi conexe

Articol principal: Conexitate (topologie).

O submulțime M a unui spațiu topologic X se numește conexă dacă nu există nici o acoperire a ei prin două mulțimi deschise disjuncte:

\not \exists A,B\in {\mathcal {T}},A\cap M\neq \emptyset ,B\cap M\neq \emptyset ,A\cap B=\emptyset ,A\cup B\supseteq M

Pentru întregul spațiu X, condiția de conexitate este echivalentă cu aceea de-a nu avea altă submulțime simultan închisă și deschisă decât mulțimea vidă și întregul spațiu.

Mulțimi compacte

Articol principal: Mulțime compactă.

O submulțime M a unui spațiu topologic X se numește compactă dacă din orice acoperire deschisă a ei se poate extrage o acoperire finită. Mai exact, pentru orice familie ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {T}}$ satisfăcând $\bigcup {\mathcal {F}}\supseteq M$ , există o subfamilie ${\mathcal {F}}_{0}\subseteq {\mathcal {F}}$ satisfăcând $\bigcup {\mathcal {F}}_{0}\supseteq M$ .

Extinderi ale conceptului

Pentru orice structură algebrică se poate introduce o topologie discretă.

Bibliografie

Andrei Iacob, Metode topologice în mecanica clasică, Editura Academiei RSR, 1973.

Vezi și

Portal Matematică

Topologie
Domenii	Teoria generală Algebrică Combinatorică Continuum Diferențială Geometrică Mulțimi de numere Omologie (Co-omologie)
Concepte de bază	Mulțime deschisă / Mulțime închisă Continuitate Spațiu compact Hausdorff metric uniform Omotopie (Grup omotopic) Grup fundamental Complex simplicial CW complex Secvență exactă Algebră omologică K-teorie
Glosar/Liste	Subiecte generale algebrice geometrice Publicații