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Nella matematica, un intero $b$ è un divisore di un intero $a$ se esiste un intero $c$ tale che $a=b\cdot c$ . Ad esempio, 7 è un divisore di 42 in quanto $42=7\cdot 6$ . Si dice anche che 7 divide 42, o che 42 è divisibile per 7 o che 42 è un multiplo di 7, e si scrive $7\mid 42$ . I divisori possono essere sia positivi che negativi. I divisori positivi di 42 sono {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}.

Casi particolari: 1 e -1 dividono qualunque intero, ed ogni intero è un divisore di 0. I numeri divisibili per 2 si chiamano pari, mentre quelli che non lo sono si chiamano dispari. Il nome è legato al fatto che l'intero non nullo $b$ divide l'intero $a$ se e solo se nella divisione con resto di $a$ per $b$ il resto è zero.

Regole per piccoli divisori

Esistono alcune regole utili per capire semplicemente alcuni piccoli divisori di un numero guardando le sue cifre decimali:

Un numero è divisibile per 2 se e solo se l'ultima cifra è 0, 2, 4, 6 oppure 8, cioè se è un numero pari. Esempio: 45 è un numero dispari, quindi non è divisibile per due, mentre 1478 è pari, ossia è divisibile per due.
Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è un multiplo di tre. Nel caso il risultato dovesse essere maggiore di 9, si sommano le due o più cifre del risultato e si stabilisce se tale somma è o meno multipla di tre. Esempio: La somma delle cifre che compongono il numero 213 è 6, quindi 213 è divisibile per tre. Nel caso di 579, invece, la somma risulta essere 21. Visto che 2 + 1 fa tre, anche 579 è divisibile per tre.
Un numero è divisibile per 4 se il numero formato dalle sue due ultime cifre è un multiplo di 4 oppure se le sue ultime due cifre sono due zeri. Esempio: Il numero 144 termina con le cifre 44, e, visto che il quattro divide il 44, il numero 144 è divisibile per 4. Anche 500 è divisibile per quattro.
Un numero è divisibile per 5 se l'ultima cifra è 0 oppure 5. Esempio: Sia 5025 che 19830 sono divisibili per 5, al contrario di 783.
Un numero è divisibile per 6 se è divisibile sia per 2 che per 3 (vedi sopra). Esempio: Il numero 96 è divisibile sia per 2 sia per 3, e quindi è divisibile anche per 6.
Un numero è divisibile per 7 se sottraendo il doppio dell'ultima cifra al numero senza l'ultima cifra il risultato è divisibile per 7 (ad esempio, 364 è divisibile per sette in quanto 36-2×4 = 28, che è divisibile per 7). Se il numero è troppo grande, è possibile dividerlo in gruppi di tre cifre dalla destra alla sinistra, inserendo segni alternati fra ogni gruppo (ad esempio, invece di 1.048.576 è possibile fare la prova su 576-048+1 = 529, che non è divisibile per sette in quanto 52-18 = 34 non lo è). Un numero può anche essere divisibile per 7 se lo è la somma fra il triplo delle cifre che precedono la cifra finale di un numero e la sua cifra finale (prendiamo il numero 380233, esso è divisibile per 7 perché 38023 x 3 + 3 è uguale a un numero divisibile per 7).
Un numero è divisibile per 8 se il numero dato dalle ultime tre cifre lo è.
Un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre rappresenta un multiplo di nove.
Un numero è divisibile per 10 se la sua ultima cifra è 0.
Un numero è divisibile per 11 se, eseguita la somma fra le cifre in una posizione pari e quelle in una posizione dispari, la differenza tra il maggiore e il minore di questi risultati è a sua volta divisibile per 11. Esempio: Nel numero 4257, si devono sommare le cifre che occupano una posizione dispari (1° e 3°, in questo caso), ovvero 4 e 5, con quelle che occupano una posizione pari (in questo caso, solo la 2ª e la 4ª cifra), ovvero 2 e 7. La somma delle cifre che occupano una posizione dispari è 9, quella delle cifre in un posto pari è ugualmente 9. La differenza è quindi uguale a zero (che è divisibile per 11).
Un numero è divisibile per 12 se è divisibile sia per 3 che per 4.
Un numero è divisibile per 13 se sottraendo 9 volte l'ultima cifra dal numero privato di questa il risultato è divisibile per 13 (ad esempio 858 lo è in quanto 85-9×8 = 13, che chiaramente è divisibile per 13). Il metodo della divisione dei grandi numeri in gruppi di tre cifre, spiegato a proposito della divisibilità per 7, funziona anche in questo caso. Un numero può essere divisibile per 13 anche se lo è la somma fra il quadruplo della cifra finale di un numero e tutte le cifre che precedono questa (ad esempio, 123071 è divisibile per 13 perché lo è 1 x 4 + 1+2+3+0+7).
Un numero è divisibile per 14 se è divisibile sia per 2 sia per 7.
Un numero è divisibile per 15 se è divisibile sia per 3 sia per 5.
Un numero è divisibile per 17 se la differenza (presa in valore assoluto), fra il numero ottenuto eliminando la cifra delle unità e il quintuplo della cifra delle unità è 0, 17 o un multiplo di 17 (numeri con più di due cifre), oppure se in esso la differenza fra le sue cifre precedenti l'ultima e l'ultima moltiplicata per 5 è uguale a 0, 17 o un multiplo di 17.
Un numero è divisibile per 19, dopo averlo scomposto nella forma $100a+b$ , solo se è divisibile $a+4b$ , oppure se in esso la differenza fra le sue cifre prima dell'ultima moltiplicate per nove e l'ultima è uguale a 0, 19, o un multiplo di 19 (ad esempio 817 è divisibile per 19 perché lo è 81 x 9 - 7).
Un numero è divisibile per 20, se l'ultima cifra è 0 e la penultima è 0,2,4,6 o 8.
Un numero è divisibile per 23 se è divisibile per 23 la somma della cifra delle decine e del settuplo della cifra delle unità, oppure se in questo la differenza fra le cifre precedenti l'ultima e l'ultima moltiplicata per 16 è uguale a 0, 23 o un multiplo di 23 (ad esempio 1633 è divisibile per 23 perché lo è 163 - 3 x 16).
Un numero è divisibile per 25 se (e solo se) le sue ultime 2 cifre sono 00, 25, 50 o 75.
Un numero è divisibile per 29 se (e solo se) lo è anche la cifra delle decine sommato al triplo della cifra delle sue unità (261 lo è in quanto 26 + 3*1 = 29), oppure se in questo la differenza fra le sue cifre precedenti l'ultima e l'ultima moltiplicata per 26 è uguale a 0, 29 o un multiplo di 29 (ad esempio, 957 è divisibile per 29 perché lo è 95 - 7 x 26).

Proprietà

Alcune proprietà fondamentali:

a | a (riflessiva);
se a | b e b | a, allora a = b o a = $-$ b (antisimmetrica a meno del segno);
se a | b e b | c, allora a | c (transitiva);
se d | a e d | b, allora d | (a + b), più in generale d | (am + bn) per ogni m e n interi, e d | MCD(a,b);
se a | c e b | c, allora mcm(a,b) | c.

Ulteriori informazioni

Un divisore positivo di n diverso da n stesso è chiamato divisore proprio.

Numeri primi

Un intero n > 1 il cui unico divisore proprio è 1 viene chiamato numero primo.

Qualunque divisore positivo di n è un prodotto di fattori primi di n elevati ad una qualche potenza (non superiore a quella presente nella fattorizzazione di n stesso). Questa è una conseguenza del teorema fondamentale dell'aritmetica.

Numeri perfetti, difettivi, abbondanti

Un numero uguale alla somma dei suoi divisori propri è detto numero perfetto. I numeri minori della somma sono detti difettivi, quelli maggiori abbondanti.

Numero di divisori

Il numero totale di divisori positivi di n è la funzione moltiplicativa d(n) (ad esempio, d(42) = 8 = 2×2×2 = d(2)×d(3)×d(7)). La somma dei divisori positivi di n è un'altra funzione moltiplicativa σ(n) (ad esempio, σ(42) = 96 = 3×4×8 = σ(2)×σ(3)×σ(7)).

Notiamo che se un numero $p$ è primo allora ha due divisori, $p^{2}$ ha tre divisori, ecc. In generale $p^{M}$ ha $M+1$ divisori. Quindi se la fattorizzazione prima di n è data da:

n=p_{1}^{\nu _{1}}\,p_{2}^{\nu _{2}}\,\ldots \,p_{M}^{\nu _{M}}.

Allora il numero di divisori positivi di n è:

d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\ldots (\nu _{M}+1)

ed ogni divisore è nella forma:

p_{1}^{\mu _{1}}\,p_{2}^{\mu _{2}}\,\ldots \,p_{M}^{\mu _{M}},

dove:

\forall i:0\leq \mu _{i}\leq \nu _{i},\qquad i=1,2,\ldots ,M.

Ad esempio poiché

36000=2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{3},

allora

d(36000)=(5+1)(2+1)(3+1)=6\cdot 3\cdot 4=72

e quindi 36000 ha 72 divisori.

Da queste considerazioni si può dimostrare che un numero ha una quantità dispari di divisori se e solo se è un quadrato perfetto.

Relazione indotta dalla divisibilità

La relazione | di divisibilità rende l'insieme $\mathbb {N}$ degli interi non negativi un insieme parzialmente ordinato, precisamente un reticolo completamente distributivo. Il più grande elemento di questo reticolo è 0 ed il più piccolo è 1. L'operazione $\wedge$ è rappresentata dal massimo comun divisore mentre la $\vee$ dal minimo comune multiplo. Questo reticolo è isomorfo al duale del reticolo dei sottogruppi del gruppo ciclico infinito $\mathbb {Z}$

Regole generali di divisibilità

Se un intero n è scritto in base b e d è un intero tale che b ≡ 1 (mod d), allora n è divisibile per d se e solo se anche la somma delle sue cifre in base b lo è. Le regole date sopra per d=3 e d=9 sono casi speciali di questo (b=10).

Possiamo generalizzare ulteriormente questo metodo per trovare come controllare, in qualsiasi base, la divisibilità di qualsiasi intero per un qualsiasi intero minore; cioè, determinare se d | a in base b. Per prima cosa cerchiamo una coppia di interi (n, k) tali che bⁿ ≡ k (mod d). Adesso, invece di sommare le cifre, prendiamo a (che ha m cifre) e moltiplichiamo le prime m-n cifre per k ed aggiungiamo il prodotto alle ultime k cifre, e ripetiamo se necessario. Se il risultato è un multiplo di d allora anche il numero originario è divisibile per d. Qualche esempio:

Poiché 10³ ≡ 1 (mod 37) (b=10, n=3, k=1, d=37) allora il numero a=1523836638 si può dimostrare divisibile per 37 in quanto: 1523836×1+638=1524474, 1524×1+474=1998, 1×1+998=999 (o, più semplicemente, visto che in questo caso k=1: 1+523+836+638=999); e 999 è divisibile per 37 per la conguenza vista sopra.

Ancora, 10² ≡ 2 (mod 7) (b=10, n=2, k=2, d=7), se a=43106 otteniamo 431×2+06=868; ripetiamo: 8×2+68 = 84 che è un multiplo di 7. Si noti che non c'è una terna (n, k, d) unica; difatti, avremmo potuto usare anche 10 ≡ 3 (mod 7) e quindi 1293×3 + 6 = 3885, 388×3 + 5 = 1169, 116×3 + 9 = 357, 35×3 + 7 = 112, 11×3 + 2 = 35, 3×3 + 5 = 14 ed infine 1×3 + 4 = 7. Naturalmente questo non è sempre efficiente ma si noti che ogni numero della serie (43106, 12936, 3885, 1169, 357, 112, 35, 14, 7) è un multiplo di 7 e spesso si trovano multipli identificabili banalmente. Questo metodo non è necessariamente utile per alcuni numeri (ad esempio 10⁴ ≡ 4 (mod 17) è il primo n dove k < 10) ma si presta a calcoli veloci in altri casi dove n e k sono relativamente piccoli.

Generalizzazioni

Si potrebbe parlare del concetto di divisibilità in ogni dominio d'integrità. Vedi la voce relativa per una definizione in questo contesto.

Voci correlate

Tavola dei fattori primi: una tavola con la fattorizzazione di numeri da 1 a 1000
Tavola dei divisori: una tavola con i divisori sia primi che non primi dei numeri da 1 a 1000
Criteri di divisibilità
Numero primo
Funzione phi di Eulero
Divisione euclidea