Type a search term to find related articles by LIMS subject matter experts gathered from the most trusted and dynamic collaboration tools in the laboratory informatics industry.
Matemaatikas nimetatakse vektorruumiks hulka, milles on defineeritud liitmine ja korrutamine skalaariga. Skalaarideks on tihti reaalarvud, kuid nendeks võivad olla ka kompleksarvud, ratsionaalarvud või üldiselt suvalise korpuse elemendid. Vektorite liitmine ja skalaariga korrutamine peab rahuldama teatud hulka nõudeid nn vektorruumi aksioome, mis on loetletud all.
Vektorruumi elemente nimetatakse vektoriteks.
Vektorruumid on lineaaralgebra üheks keskseks mõisteks.
Tähistagu u, v ja w vektoreid ruumis V ja a ja b skalaare ehk korpuse K elemente. Vektorruumi aksioomid on järgmised:
| Aksioomi nimetus | Formuleering |
| Liitmise assotsiatiivsus | u + (v + w) = (u + v) + w. |
| Liitmise kommutatiivsus | v + w = w + v. |
| Liitmise ühikelemendi olemasolu | Leidub selline vektor 0 ∈ V, et v + 0 = v iga v ∈ V jaoks. Seda vektorit nimetatakse nullvektoriks. |
| Liitmise pöördelemendi ehk vastandelemendi olemasolu | Iga vektori v ∈ V jaoks leidub selline vektor w ∈ V, et v + w = 0. Seda vektorit nimetatakse v vastandvektoriks ja tähistatkse −v. |
| Vektorite liitmise distributiivsus skalaariga korrutamise suhtes | a(v + w) = av + aw. |
| Skalaariga korrutamise distributiivsus vektorite liitmise suhtes | (a + b)v = av + bv. |
| Skalaariga korrutamise ja skalaaride korrutamise ühilduvus | a(bv) = (ab)v (See aksioom ei tähenda assotsiatiivsust, kuna käsitletakse erinevaid tehteid: skalaariga korrutamist bv ja skalaaride korrutamistab.) |
| Skalaarse ühikelemendi olemasolu | 1v = v, kus 1 tähistab multiplikatiivset ühikelementi korpuses K. |
Kui skalaarid vektorrruumis V kuuluvad korpusesse K, siis räägitakse vektorruumist üle K.
Pikemalt artiklis Baas (matemaatika) Pikemalt artiklis Dimensioon (matemaatika) Baasi olemasolu annab hea intuitiivse ülevaate vektorruumide struktuurist. Vektorruumi V üle K baasiks nimetatakse lineaarselt sõltumatute vektorite hulka B = {vi| i ∈ I}, kus I tähistab indeksite hulka, et B lineaarne kate moodustaks V = <B>. Teisisõnu iga vektor v ∈ V on esitatav järgmise lineaarkombinatsioonina
kus ai ∈ K on skalaarid ja vektorid vi ∈ B baasi elemendid. Hulga B elementide arvu (või võimsust)nimetatakse vektorruumi dimensiooniks ehk mõõtmeks ja tähistatakse dim(V) või dim V.
Igal vektorruumil on baas. Viimane järeldub Zorni lemmast, mis eeldab valikuaksioomi kehtivust. Zermelo-Fraenkeli hulgateoorias on baasi olemasolu valikuaksioomiga ekvivalentne. Ultrafiltri lemmast, mis on nõrgem kui valikuaksioom, järeldub, et vektorruumi kõik baasid on võrdvõimsad. Kui vektorruumi lineaarse katte moodustab mõni lõplik hulk, on eelseisev tõestatav otseselt hulgateooriale toetumata.
Kui vektorruumis on defineeritud skalaarkorrutis, siis saab defineerida baasvektorid, mis on
Sellist baasi nimetatakse ortonormaalseks baasiks.
Vektorruumi V kaasruumiks V* nimetatakse antud ruumil määratud pidevate lineaarsete funktsionaalide hulka.[1]. Kaasruumi elemente nimetatakse ka kovektoriteks.
LIMS forum content by LIMS forum members is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License. Based on a work at www.limsforum.com.
