Informatics Educational Institutions & Programs

Przykładem funkcji jest kwadrat liczby: y=x². Funkcja rzeczywista zdefiniowana tym wzorem ma wykres w kartezjańskim układzie współrzędnych – jest nim parabola.

Funkcja (łac. functio, -onis „odbywanie, wykonywanie, czynność”^[a]), odwzorowanie^[1]^[2], przekształcenie^[3], transformacja^[4] – pojęcie matematyczne używane w co najmniej dwóch zbliżonych znaczeniach:

dla danych dwóch zbiorów $X$ i $Y$ funkcją nazywano każde przyporządkowanie^[b] elementom zbioru $X$ po jednym elemencie zbioru $Y$ ^[c]^[5];
zazwyczaj wymaga się też, aby to przypisanie dotyczyło każdego elementu zbioru $X$ ^[6]. Wtedy obiekty spełniające tylko pierwszy warunek są znane jako funkcje częściowe.

Funkcje oznacza się na ogół literami $f,g,h$ itd. Jeśli funkcja $f$ przyporządkowuje elementom zbioru $X$ elementy zbioru $Y,$ to pisze się: $f\colon X\to Y.$ W kontekście każdej funkcji używa się kilku podstawowych pojęć:

zbiór $X$ nazywa się dziedziną funkcji f, przy czym ten termin ma też inne znaczenie opisane w linkowanym artykule. Inna nazwa to zbiór argumentów^[2], ponieważ jego każdy element $x$ nazywa się argumentem tej funkcji^[2] lub zmienną niezależną;
zbiór $Y$ to przeciwdziedzina tej funkcji $f$ lub jej zbiór wartości^[2], przy czym te terminy mają też inne znaczenie – por. linkowane artykuły. Każdy element $y=f(x)$ nazywa się wartością funkcji^[2] lub zmienną zależną^[7].

Funkcje to szczególne przypadki relacji binarnych. Relacja $R$ jest funkcją, jeśli spełnia dwa warunki, poniżej zapisane za pomocą kwantyfikatorów^[2]:

jednoznaczność^[8]: $\forall x\in X,y_{1},y_{2}\in Y:[xRy_{1}\wedge xRy_{2}\Rightarrow (y_{1}=y_{2})],$
$\forall x\in X\ \exists y\in Y:xRy.$

Przez to funkcje rozumiane szeroko są też znane jako relacje jednoznaczne^[9]. Teoria mnogości definiuje relacje za pomocą iloczynu kartezjańskiego zbiorów, czyli zbioru par uporządkowanych: $R\subseteq X\times Y.$

Termin funkcja pojawił się w matematyce w XVII wieku, po czym kolejni uczeni nadawali mu nowe znaczenia^[6]. Leonhard Euler w osiemnastym wieku był pierwszym matematykiem, który użył wpółczesnego oznaczenia funkcji^[10]. Euler używał dwóch definicji funkcji, pierwsze jako analityczne wyrażenie (formuła), zawierajaca stałe oraz zmienne. Druga definicja to zmienna zależna od innej zmiennej. Takie samo podejście można znaleźć w książkach Lagrange’a. Drugie podejście, z drobnymi zmianami, było używane przez późniejszych matematyków, takich jak Cauchy, Fourier, Drichlet, czy Riemann^[11].

Funkcje stały się jednym z podstawowych i najważniejszych pojęć całej nowożytnej matematyki^[6] i innych nauk ścisłych; funkcje:

są głównym przedmiotem badań analizy;
pozwoliły zdefiniować jedno z podstawowych pojęć kombinatoryki i teorii mnogości: moc zbioru^[12].
pojawiają się w logice matematycznej w postaci funkcji zdaniowych (predykatów) i innych funktorów;
stały się jednym z fundamentów informatyki, gdzie nazywa się tak odmianę procedury; powstałe całe metody programowania oparte na tym pojęciu jak programowanie funkcyjne;.

Opisano dziesiątki odmian funkcji; niezależnie od dziedziny i przeciwdziedziny można wyróżnić funkcje różnowartościowe (iniekcje), funkcje „na” (suriekcje) oraz przecięcie tych dwóch zbiorów – funkcje wzajemnie jednoznaczne (bijekcje). Inne typy definiuje się m.in. za pomocą konkretnej dziedziny lub przeciwdziedziny, co opisano w dalszych sekcjach. Zbiór wszystkich funkcji ze zbioru $X$ do zbioru $Y$ oznacza się $Y^{X}$ ^[2].

Formalna definicja

Funkcja $f=(X,Y,W)$ to trójka uporządkowana składająca się z poniższych elementów^[13]^[14]^[15]^[16]^[17]^[18]^[19]:

dziedziny $X$ będącej dowolnym zbiorem,
przeciwdziedziny $Y$ również będącej dowolnym zbiorem,
wykresu $W\subseteq X\times Y$ będącym zbiorem par, takim że $\forall x\in X,\exists !y\in Y:(x,y)\in W.$

Wyjaśnienie: Wykres $W$ to zbiór tylko takich par, że dla każdego elementu $x$ z $X$ istnieje dokładnie jeden $y$ z $Y,$ taki że para $(x,y)$ znajduje się w zbiorze $W$ (czyli owa para jest „punktem” z wykresu funkcji).

Alternatywne definicje

Definicja $f=(X,Y,W)$ nazywana jest również definicją Bourbakiego^[20]^[14] (wprowadzoną w 1954 r.^[21]) ze względu na prostotę, pełność i ogólność spełnia wymogi współczesnej matematyki^[22]. Zauważmy że dla teoriomnogościowej definicji trójki jako pewnego zbioru (co zwykle się przyjmuje), funkcja $f$ staje się zbiorem. W literaturze definicja może różnić się kolejnością elementów np. $f=(W,X,Y)$ albo $f=(X,W,Y)$ . Spotyka się również wariant tej definicji w której używa się klas zamiast zbiorów^[15].

Jeżeli zakładamy że funkcja jest surjekcją lub jeśli jest wygodne nie ustalanie przeciwdziedziny, wówczas można skorzystać z definicji redukującej funkcję tylko do wykresu funkcji tj. $f=W$ (a więc do pewnego zbioru par). Tak zredukowana definicja jest bardziej pierwotna i została sformalizowana wcześniej (w latach ok. 1914–1921). Często w literaturze zaznacza się (z przyczyn głównie historycznych), że taka zredukowana definicja (wykres) jest pewną relacją binarną. Należy zauważyć że między ogólną definicją a zredukowaną istnieją poważne różnice^[23]. Powyższa zredukowana definicja oraz pełna definicja Bourbakiego, są powszechnie używane w literaturze^[22].

Istnieją również definicje starsze, bardziej pierwtone i mniej precyzyjne, jednak współcześnie zykle nie używa się ich.

Notacja

W tradycyjnej notacji zwykle rozdziela się definicję wykresu od dziedziny i przeciwdziedziny np.

Dana jest funkcja

f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R}

określona wzorem

f(x)=x/2

,

tu najpierw podano dziedzinę $\mathbb {N}$ (liczby naturane) i przeciwdziedzinę $\mathbb {R}$ (liczby rzeczywiste), a następnie osobno zdefiniowano wykres (zbiór $W$ w formalnej definicji) poprzez formułę pozwalającą wyznaczyć każdy jego element - czyli każdą parę $(x,y)=(x,f(x))=(x,x/2)$ , gdzie $x\in \mathbb {N}$ , oraz $y\in \mathbb {R}$ (symbol $\in$ oznacza przynależność do zbioru).

Dokładniej: poprzez podstawienie danego elementu $x$ dziedziny pod formułę $f(x)=x/2=y$ otrzymamy element przeciwdziedziny $y$ , co pozwoli skonstruować parę $(x,y)$ bądącą elementem (punktem) wykresu $W$ funkcji, np. dla $x=6$ podstawiamy $f(6)=6/2=3$ - otrzymaliśmy więc parę $(6,3)\in W$ , jeśli podobnie ucznimy dla pozostalych elementów dziedziny to znajdziemy wszystkie punktu (elementy) wykresu.

Bardziej formalny zapis (którego zwykle się nie stosuje w praktyce) dla tego przykładu wyglądałby tak:

f=\left(\mathbb {N} ,\mathbb {R} ,\left\{\left(x,{\frac {x}{2}}\right):x\in \mathbb {N} \right\}\right).

Jeżeli pomija się podanie dziedziny i przeciwdziedziny dla danej funkcji to oznacza, że należy wywieść te informacje z wykresu lub kontekstu – co często ma miejsce (i uzasadnia oddzielenie definicji wykresu w tradycyjnej notacji).

Przykład 1

Funkcje używające tej samej formuły $f(x)$ do zdefiniowania wykresu nie muszą być tożsame. Rozważmy taki przypadek czterech funkcji korzystających z formuły $f(x)=x^{2}$ (poniżej oznaczono: $\mathbb {R}$ to liczby rzeczywiste a $\mathbb {R} ^{+}$ to dodanie liczby rzeczywiste):

f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+},f(x)=x^{2},

więc z definicji:

f=(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{+},\{(x,x^{2}):x\in \mathbb {R} \}),

g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \ ,g(x)=x^{2},

więc z definicji:

g=(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ,\{(x,x^{2}):x\in \mathbb {R} \}),

h\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+},h(x)=x^{2},

więc z definicji:

h=(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} ^{+},\{(x,x^{2}):x\in \mathbb {R} ^{+}\}),

k\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} \ ,k(x)=x^{2},

więc z definicji:

k=(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} ,\{(x,x^{2}):x\in \mathbb {R} ^{+}\}).

mamy: $k\neq g\neq f\neq h\neq k\neq f\neq h\neq g$ (bo każda jest inną trójką). Każda z funkcji ma inny charakter: $f$ to suriekcja, $h$ to bijekcja, k to iniekcja.

Przykład 2

Rozważmy funkcję której dziedzina to $\mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} =\left\{(u,v)\colon u\in \mathbb {R} \;\wedge \;v\in \mathbb {R} \right\}$ (iloczyn kartezjański) czyli każdy element $x\in \mathbb {R} ^{2}$ z dziedziny jest parą dwóch liczb rzeczywistych tj. $x=(u,v)$ . Przeciwdziedziną zaś niech będzie $\mathbb {R}$ zaś wykresem $f(x)=f((u,v))=u^{2}+v^{2}$ . Zwróćmy uwagę że tak zdefiniowana funkcja przyjmuje defacto dwie liczby $u,v$ (stanowiące jedną parę $(u,v)$ oznaczoną przez $x$ ) jako argument a zwraca w wyniku jedną liczbę (będącą sumą kwadratów elementów pary). Kożystając z tradycyjnej notacji zapiszemy

f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}

,

f(u,v)=u^{2}+v^{2}

zwróćmy uwagę, że zamiast $f((u,v))$ zapisano $f(u,v)$ a więc pominięto wewnętrzne nawiasy - jest to powszechnie stosowany skrót notacyjny. Formalnie funkcja przyjmuje tylko jeden argument (który jest parą liczb). Bardziej formalna definicja (nie stosowana w praktyce) wyglądała by tak:

f=\left(\mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} ,\left\{\left((u,v),u^{2}+v^{2}\right):u,v\in \mathbb {R} \right\}\right)

Funkcje których argument jest parą, trójką lub w ogólności n-tką nazywamy funkcjami wielu zmiennych.

Przykład 3

Zbiorczy przykład różnych funkcji oraz ich obrazowych interpretacji

$f:[0,1]^{4}\to \mathbb {R} ,f(x,y,z,t)=t+xyz$ , ( $[0,1]$ to przedział domknięty wszystkich liczb rzeczywistych od 0 do 1) z definicji $f=([0,1]^{4},\mathbb {\mathbb {R} } ,\{((x,y,z,t),t+xyz):x,y,z,t\in [0,1]\})$ , np. funkcja określa temperaturęw każdym punkcie kostki o boku 1, w każdym momencie przedział czasu od 0 do 1.

$f:\mathbb {R} \to \mathbb {\mathbb {R} } ^{3},f(x)=(x^{2},x,0)$ . Wynikiem działania tej funkcji jest trójka liczb którą można interpretować jak współrzedne x,y,z w przestrzeni 3D (w tym przypadku z=0). Z definicji $f=(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{3},\{(x,(x^{2},x,0)):x\in \mathbb {R} \})$ (funkcja przyporządkowuje każdej liczbie pewien punkt na płaszczyźnie (z=0) w przestrzeni trójwymiarowej - czyli rysuje płaską krzywą w 3D), np. funkcja określa położenie pewnego pojazdu na płaskiej nawierzchni w czasie x.

$f:\mathbb {N} ^{\mathbb {Z} }\to \mathbb {\mathbb {R} } ,f(x)={\sqrt {x(-1)}}$ , gdzie $\mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }$ to zbiór wszystkich funkcji $x:\mathbb {Z} \to \mathbb {N}$ tj. działających z liczb całkowitych $\mathbb {Z}$ w liczby naturalne $\mathbb {N}$ . Tutaj $x$ nie oznacza liczby tylko funkcję, a $x(-1)$ to wartość tej funkcji dla minus jedynki. Funkcja $f(x)$ zwraca więc pierwiastek z pewnej liczby naturalnej która jest wartością funkcji $x$ w minus jeden. Z definicji formalnej zapisujemy $f=(\mathbb {N} ^{\mathbb {Z} },\mathbb {\mathbb {R} } ,\{(x,{\sqrt {x(-1)}}):x\in \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }\})$ . Funkcja której argumentem są inne funkcje a wartościami liczby (zamienia/mapuje/transformuje funkcje na liczby) to funkcjonał.

$f:\mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }\to \mathbb {\mathbb {R} } ^{\mathbb {N} },f(x)=\pi x^{2}$ , tutaj funkcja f jako argument bierze inną funkcję $x:\mathbb {N} \to \mathbb {Z}$ a jako wynik zwraca jeszcze inną funkcję $y:\mathbb {N} \to \mathbb {R}$ . Wartość funkcji $y$ w każdym punkcie równa jest kwadratowi wartości funkcji $x$ w owym punkcie wymnorzonym przez $\pi$ tj. $y(t)=\pi (x(t))^{2},t\in \mathbb {N}$ . Z definicji formalnej mamy: $f=(\mathbb {Z} ^{\mathbb {N} },\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },\{(x,\pi x^{2}):x\in \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }\})$ . Ponieważ funkcja $x$ ma taką samą dziedzinę jak funkcja $y$ oraz $t$ w formule na y jest użyte tylko w $x(t)$ to możemy operować na nich podobnie jak na zmiennych liczbowych (np. pisząc skrótowo $y=\pi x^{2}$ zamiast $y(t)=\pi x(t)^{2}$ co skraca notację). Funkcje których argumentami są inne funkcje a wynikiem jeszcze inne funkcje (czyli zamieniają/mapują/transofmują jedne funkcje na inne funkcje) nazywamy operatorami. Poszczególne operatory mogą posiadać indywidualną niezależną notację (i nierzadko nazewnictwo oraz być centralnym elementem teorii matematycznych) np. dywergencja $div(.),\nabla \cdot$ , transformata Fouriera ${\hat {f}}$ etc. .

$f:\mathbb {N} ^{\mathbb {Z} }\to \mathbb {\mathbb {R} } ^{\mathbb {Q} },f(x)=y,y(t)=\pi t+2x(\lfloor t\rfloor ),t\in \mathbb {Q}$ (gdzie $\lfloor t\rfloor$ oznacza podłogę, $\mathbb {Q}$ to liczby wymierne) funkcja (operator) $f$ zmienia funkcję $x:\mathbb {Z} \to \mathbb {N}$ w funkcję $y:\mathbb {Q} \to \mathbb {R}$ . Bardziej formalnie (z definicji) $f=(\mathbb {N} ^{\mathbb {Z} },\mathbb {\mathbb {R} } ^{\mathbb {Q} },\{(x,(\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\{(t,\pi t+2x(\lfloor t\rfloor )):t\in \mathbb {Q} \})):x\in \mathbb {N} ^{\mathbb {Z} }\})$ . Przykładowe użycie operatora $f$ dla funkcji $x(s)=3s^{2}+5,s\in \mathbb {Z}$ czyli zapis $f(x)=y$ da w wyniku funkcję $y(t)=\pi t+2(3\lfloor t\rfloor ^{2}+5)=\pi t+6\lfloor t\rfloor ^{2}+10$ .

$+:\mathbb {N} ^{2}\to \mathbb {N}$ (użyto tu znaku " $+$ " zamist litery " $f$ ") ta funkcja jest działaniem dodawania dwóch liczb naturalnych tzn. przyjmuje ona parę liczb a jako wynik zwraca jedną liczbę. Funkcja ta (podobnie jak inne działania arytmetyczne) ma swoją indywidualną notację tzn. nie piszemy $+(a,b)$ tylko $a+b$ . W celu pełnej definicji, skorzystajmy z definicji von Neumanna liczb naturalnych, gdzie możemy użyć następnika zdefiniowanego jako $S(a)=a\cup \{a\}$ oraz gdzie zero to zbiór pusty tj. $0=\{\}$ i korzystając z $S(0)=S(\{\})=\{\}\cup \{\{\}\}=\{\{\},\{\{\}\}\}=1,S(1)=...=2$ , itd. możemy skonstruować kolejne liczby naturalne - następniki. Następnie weźmy zbiór $W_{0}=\{((a,0),a):a\in \mathbb {N} \}$ (który dotyczy dodawania zera dla każdej liczby naturalnej) oraz użyjmy $W_{S(b)}=\{((a,S(b)),S(c)):((a,b),c)\in W_{b}\}$ będącego krokiem indykcyjnym w celu znalezienia kolejnych zbiorów $W_{b}$ dla $b>1$ ktre dotyczą dodawania liczby $b$ do każdej liczby $a$ (na podstawie zbiorów poprzednich). Przykładowo $W_{1}=W_{S(0)}=\{((a,S(0)),S(a)):((a,0),a)\in W_{0}\}=\{((a,1),a+1):((a,0),a)\in W_{0}\}$ , następnie $W_{2}=W_{S(1)}=\{((a,S(1)),S(S(a))):((a,S(0)),S(a))\in W_{1}\}=\{((a,2),a+2):((a,1),a+1)\in W_{1}\}$ itd.. Zatem zbiór $W_{b}=\{((a,b),a+b):((a,b-1),a+b-1)\in W_{b-1}\}$ zawiera pary $((a,b),a+b)$ tzn wyniki dodawania dowolnej liczby $b$ dla każdej liczby naturalnej $a$ . To pozwala na formalne zdefiniowanie funkcji dodawania następująco $+=(\mathbb {N} ^{2},\mathbb {N} ,\bigcup _{b\in \mathbb {N} }W_{b})$ . Wykres funkcji zawiera więc pary $((a,b),a+b)$ (dla dowolnych $a$ i $b$ ) gdzie pierwszy element to para dwóch liczb (nazywanych składnikami), a drugi element to suma owych liczb (wynik funkcji).

Przykład 4

Poniżej kilka nietypowych/granicznych przypadków – kolumna po stronie lewej trójka f; w środku to interpretacja f jako funkcji w świetle formalnej definicji zapisana w tradycyjnej notacji; ostatnia kolumna to wyjaśnienie ( $X$ i $Y$ to dowolne nie puste zbiory, $W$ to niepusty wykres)


zbiór	tradycyjna notacja	wyjaśnienie
$f=(\emptyset ,\emptyset ,\emptyset )$	$f\colon \emptyset \to \emptyset ,$ pusty wykres	dzedzina, przeciwdziedzina i wykres są zbiorami pustymi
$f=(X,\emptyset ,\emptyset )$	to nie funkcja	jeżeli dziedzina jest niepusta, to i wykres nie może być pusty
$f=(\emptyset ,Y,\emptyset )$	$f\colon \emptyset \to Y,$ pusty wykres	dziedzina i wykres są zbiorami pustymi
$f=(\emptyset ,\emptyset ,W)$	to nie funkcja	jeżeli wykres jest niepusty, to i dziedzina nie może być pusta
$f=(\emptyset ,Y,W)$	to nie funkcja	jeżeli wykres jest niepusty, to i dziedzina nie może być pusta
$f=(X,\emptyset ,W)$	to nie funkcja	przeciwdziedzina nie może być zbiorem pustym, bo z definicji funkcji wynika, że dla każdego elementu niepustej dziedziny X musi istnieć dokładnie jeden element przeciwdziedziny.
$f=(X,Y,\emptyset )$	to nie funkcja	jeżeli dziedzina jest niepusta, to i wykres nie może być pusty
$f=(X,X,W)$	$f\colon X\to X,f(x)=y,y\in X$	dziedzina jest równa przeciwdziedzinie
$f=(X,Y,X)$	to nie funkcja (przy założeniu ZF)	wykres musiałby być tym samym co dziedzina $W=X$ (co jest niemożliwe jeśli przyjmujemy aksjomatykę ZF, co zwykle ma miejsce)
$f=(X,Y,Y)$	to nie funkcja (przy założeniu ZF)	wykres musiałby być tym samym co przeciwdziedzina $W=Y$ (co jest niemożliwe jeśli przyjmujemy aksjomatykę ZF, co zwykle ma miejsce)

Obraz i przeciwobraz

Zbiór $f(A)=\{y=f(x)\colon x\in A\}$ jest obrazem podzbioru $A$ zbioru $X$ w przekształceniu $f$ ^[5],
dla każdego elementu $b\in f(X)$ przeciwobrazem elementu $b$ (dokładniej pełnym przeciwobrazem) nazywamy zbiór $f^{-1}(b)=\{a\in X\colon f(a)=b\};$ jeśli $b\notin f(X),$ to $f^{-1}(b)=\varnothing$ ^[5],
przeciwobrazem podzbioru $B\subset Y$ nazywamy zbiór $f^{-1}(B)=\{a\in X\colon f(a)\in B\};$ jeżeli $B\cap f(X)=\varnothing ,$ to $f^{-1}(B)=\varnothing$ ^[24].

Wykres funkcji

Osobny artykuł: wykres funkcji.

Wykresem funkcji $f\colon X\to Y$ nazywa się zbiór $W_{f}=\{(x,y)\in X\times Y:y=f(x)\}.$ Z definicji funkcji wynika, że dla każdego $x_{0}\in X$ istnieje dokładnie jeden taki $y_{0}\in Y,$ że $(x_{0},y_{0})\in W_{f}.$ Jeśli $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ jest funkcją ciągłą, to jej wykres jest krzywą w układzie współrzędnych na płaszczyźnie.

Jeżeli zakładamy, że funkcja jest suriekcją, to wykres funkcji jednoznacznie ją określa. Jeśli $(x_{0},y_{0})\in W_{f},$ to $y_{0}=f(x_{0}),$ przy czym $y_{0}$ jest jedynym takim elementem.

Definicję relacyjną zaproponował Giuseppe Peano^[2]^[25]; utożsamia ona funkcję z jej wykresem. Jest użyteczna w tworzeniu systemów aksjomatycznych pewnych teorii, bowiem funkcja jest wtedy pojęciem pochodnym względem aksjomatyki teorii mnogości^{[potrzebny przypis]}.

Funkcje liczbowe

Ważną klasą funkcji są funkcje

f\colon X\to \mathbb {C}

(zbiór

\mathbb {C}

jest zbiorem liczb zespolonych)

nazywane funkcjami o wartościach liczbowych^[26].

W zbiorze funkcji liczbowych określonych na ustalonym zbiorze $X$ można zdefiniować działania arytmetyczne:

Dla $f,g\colon X\to Y$ funkcja $f+g$ przyjmuje dla każdego $x\in X$ wartość $f(x)+g(x).$
Dla $f,g\colon X\to Y$ funkcja $f-g$ przyjmuje dla każdego $x\in X$ wartość $f(x)-g(x).$
Dla $f,g\colon X\to Y$ funkcja $f\cdot g$ przyjmuje dla każdego $x\in X$ wartość $f(x)\cdot g(x).$
Dla $f,g\colon X\to Y$ i $\forall _{x\in X}g(x)\neq 0$ funkcja $f/g$ przyjmuje dla każdego $x\in X$ wartość $f(x)/g(x).$
Dla $f\colon X\to Y$ i $\lambda \in \mathbb {C}$ funkcja $\lambda \cdot f$ przyjmuje dla każdego $x\in X$ wartość $\lambda \cdot f(x).$

Funkcja $f$ jest ograniczona, jeśli istnieje taka liczba rzeczywista dodatnia $M,$ że dla każdego $x\in X$ spełniona jest nierówność $|f(x)|<M.$

Jeśli funkcja liczbowa $f$ przyjmuje jedynie wartości rzeczywiste

f\colon X\to \mathbb {R} ,

to nazywa się ją funkcją o wartościach rzeczywistych^[26].

Dla funkcji o wartościach rzeczywistych wyniki powyżej zdefiniowanych czterech działań arytmetycznych są funkcjami o wartościach rzeczywistych. Wyjątkiem jest mnożenie przez stałą, która powinna być rzeczywista, aby w wyniku mnożenia funkcji o wartościach rzeczywistych przez tę stałą uzyskać funkcję o wartościach rzeczywistych.

Funkcjami liczbowymi nazywamy:

f\colon X\to \mathbb {C} ,

gdzie

X\subset \mathbb {C}

(jest to funkcja zespolona)

f\colon X\to \mathbb {R} ,

gdzie

X\subset \mathbb {R}

(jest to funkcja rzeczywista)^[27]

Można także mówić o funkcjach liczbowych wielu zmiennych (rzeczywistych lub zespolonych):

f\colon X\to \mathbb {C} ,

gdzie

X\subset \mathbb {C} ^{n}=\underbrace {\mathbb {C} \times \ldots \times \mathbb {C} } _{n},

f\colon X\to \mathbb {R} ,

gdzie

X\subset \mathbb {R} ^{n}=\underbrace {\mathbb {R} \times \ldots \times \mathbb {R} } _{n},

których dziedzina jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego zbioru liczb rzeczywistych lub zbioru liczb zespolonych, które zapisuje się:

y=f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),

gdzie

x_{1},\dots ,x_{n}

są współrzędnymi punktu w

\mathbb {R} ^{n}

lub odpowiednio w

\mathbb {C} ^{n}.

Rodzaje funkcji liczbowych

Zobacz też: funkcje elementarne, funkcje specjalne, przebieg zmienności funkcji i granica funkcji.

funkcja rosnąca;
funkcja malejąca;
funkcja nierosnąca;
funkcja niemalejąca;
funkcja monotoniczna – funkcja rosnąca lub funkcja malejąca, lub funkcja nierosnąca, lub funkcja niemalejąca;
funkcje ograniczone – funkcja, której zbiór wartości jest ograniczony;
funkcja parzysta – wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi rzędnych;
funkcja nieparzysta – wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych;
funkcja okresowa;
funkcja ciągła;
funkcja różniczkowalna – funkcja, dla której istnieje pochodna w każdym punkcie jej dziedziny.

Sposoby określania funkcji

Jeżeli dziedzina $X$ jest skończona, wystarczy wymienić wszystkie pary (argument, wartość). Można to zrobić za pomocą grafu (przykład obok).

Funkcje liczbowe można definiować za pomocą wzorów. Jest to sposób analityczny. W tym celu wykorzystuje się pewien zasób funkcji (wielomiany, funkcje elementarne itp.), działania algebraiczne, złożenie funkcji i operację przejścia do granicy (w tym operacje analizy matematycznej, takie jak różniczkowanie, całkowanie i sumowanie szeregów)^[27].

Klasa funkcji, które można przedstawić za pomocą szeregu (potęgowego, trygonometrycznego itp.) jest bardzo szeroka. Każdą funkcję elementarną można przedstawić za pomocą szeregu potęgowego zwanego szeregiem Taylora.

Przedstawić analitycznie funkcję można w sposób jawny, tzn. jako $y=f(x)$ lub jako tak zwaną funkcję uwikłaną, tzn. za pomocą równania $F(x,y)=0$ ^[27].

Czasem funkcja jest dana kilkoma wzorami, na przykład:

f(x)={\begin{cases}3^{x},&{\text{gdy }}x>0\\0,&{\text{gdy }}x=0\\2x-1&{\text{gdy }}x<0\end{cases}}.

Do określenia funkcji można też stosować metodę opisową. Na przykład funkcja Dirichleta jest funkcją, która dla argumentów wymiernych przyjmuje wartość 1, a dla argumentów niewymiernych 0.

Funkcja może na ogół być określona na wiele sposobów. Na przykład funkcję sgn (x) można określić w taki sposób:

\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}1,&{\text{gdy }}x>0\\0,&{\text{gdy }}x=0\\-1&{\text{gdy }}x<0\end{cases}},

albo w taki:

\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}{\frac {x}{|x|}},&{\text{gdy }}x\neq 0\\0,&{\text{gdy }}x=0\end{cases}}.

Dla funkcji rzeczywistych o wartościach rzeczywistych stosowano tabelaryczny sposób określania funkcji. Obecnie w dobie kalkulatorów i arkuszy kalkulacyjnych tabele wartości funkcji logarytmicznych i trygonometrycznych i innych nie są już niezbędne, ale bywają wykorzystywane^[28].

Ważnym sposobem przedstawiania i badania funkcji jest jej wykres, który dla funkcji $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ w przypadku funkcji ciągłej jest krzywą na płaszczyźnie^[28].

Przykłady funkcji liczbowych określonych za pomocą wzoru

$y=ax+b$ – funkcja liniowa
$y=ax^{2}+bx+c$ – funkcja kwadratowa
$y=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}$ – funkcja wielomianowa
$y=1+{\sqrt {\ln {\sin {2\pi x}}}}$
$P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}(x^{2}-1)^{n}}{dx^{n}}}$
$I(\alpha ,\beta )=\int _{0}^{+\infty }e^{-\alpha x}{\frac {\sin \beta x}{x}}dx$
$\sigma (z)=\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{z}}}$
$y-f(x)=0$ – funkcja jawna zapisana jako uwikłana
$x^{2}+y^{2}-1=0$ – funkcja uwikłana (równanie okręgu)

Funkcja jako związek między zmiennymi

Zamiast mówić o funkcji jako o relacji między zbiorami, można też mówić o zależności (związku) między dwiema zmiennymi $x$ i $y,$ gdzie pierwsza z nich przyjmuje wartości ze zbioru $X,$ a druga przyjmuje wartości ze zbioru $Y;$ wtedy $x$ nazywa się zmienną niezależną, a $y$ – zmienną zależną^[29]^[30]. Taka interpretacja funkcji jest często używana w analizie matematycznej i zastosowaniach matematyki w innych naukach. W tym wypadku niezależność zmiennej $x$ oznacza, że może się ona zmieniać w dowolny sposób, a zależność zmiennej $y$ oznacza, że jej zmiany są zależne od zmian zmiennej $x.$ Na przykład droga $s$ w ruchu jednostajnym o prędkości $v$ jest zależna od czasu $t$ ruchu i wyraża się wzorem:

s=v\cdot t.

W praktyce często się zdarza, że zbiór $X$ jest opisywany przez kilka zmiennych niezależnych $x_{1},\dots ,x_{n}.$ Mówimy wtedy, że zmienna $y$ jest funkcją zmiennych $x_{1},\dots ,x_{n}.$ Na przykład siła $F$ działająca na ciało jest zależna od masy $m$ ciała i jego przyspieszenia $a{:}$

F=m\cdot a.

Przykłady funkcji

W matematyce

Definicję funkcji spełniają na przykład:

działania arytmetyczne: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Można je traktować jako funkcje liczbowe dwóch lub większej liczby zmiennych.
Jednoargumentowe działania na liczbach: zaokrąglanie, podłoga i sufit oraz część ułamkowa, wartość bezwzględna, liczba przeciwna (przykład funkcji liniowej), liczba odwrotna (przykład funkcji wymiernej),
średnie: arytmetyczna, geometryczna i inne. To funkcje dwóch lub dowolnej liczby zmiennych. Można je traktować jako funkcje na ciągach lub multizbiorach liczb.
inne funkcje statystyczne, np. mediana, moda, minimum i maksimum,
funkcje teorioliczbowe: największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch lub więcej liczb całkowitych,
przekształcenia geometryczne: odbicie względem prostej lub punktu i inne symetrie, obrót względem punktu lub osi, jednokładność, dylatacja, inwersja i wiele innych,
odległość między punktami (w ogólności metryka), długość wektora (w ogólności norma),
Średnica zbioru – funkcja ze zbioru potęgowego dowolnej przestrzeni metrycznej,
długość linii (łamanej lub ogólnie krzywej), w szczególności obwód dla krzywych zamkniętych,
pole powierzchni, objętość, prawdopodobieństwo i inne przykłady miary.
działania na zdaniach lub formułach: negacja, implikacja, alternatywa, alternatywa rozłączna, koniunkcja, dysjunkcja, równoważność,
same formuły zdaniowe: przyporządkowanie termom zdania,
wartość logiczna,
działania na zbiorach,
działania na ciągach skończonych, jak permutacja (np. inwersja) oraz konkatenacja,
układ współrzędnych to funkcja z przestrzeni geometrycznej (zwłaszcza rozmaitości) w przestrzeń kartezjańską.

W fizyce

Zobacz też: zmienne zależna i niezależna.

Wszystkie wielkości fizyczne rozpatruje się jako funkcje innych zmiennych:

Jednostki fizyczne są często funkcjami liniowymi innych jednostek, np. temperatura w skali Fahrenehita jest liniową funkcją tej Celsjusza.
Czasami jednostki są logarytmicznymi funkcjami innych jednostek, np. poziom natężenia dźwięku, wysokość dźwięku, jasność absolutna,
W statyce: przyporządkowanie każdemu ciału fizycznemu jego masy oraz środka masy. Zgodnie z prawem Hooke’a siła nacisku lub naciągu jest proporcjonalna do odkształcenia ciała (dla odpowiednio małych wartości tych parametrów). To funkcje liniowe siebie nawzajem. Ich zależność opisują współczynnik sprężystości, moduł Younga i inne. Tarcie jest liniową funkcją siły nacisku.
W kinematyce: ruch ciał fizycznych opisywany jest przez wektor położenia lub przemieszczenia ${\vec {r}}$ oraz skalary odległości lub drogi s. Wszystkie są funkcjami czasu. Ta pierwsza to tzw. trajektoria lub linia świata. Na ich podstawie są oparte inne funkcje czasu: prędkość i przyspieszenie.
W dynamice: pęd jest funkcją dwóch zmiennych: masy i prędkości, przy czym obydwie mogą być funkcjami czasu. Siła okazuje się pochodną pędu po czasie (II zasada dynamiki). Praca jest funkcją siły i przesunięcia ciała, a energia może być zależna od różnych wielkości. Energia kinetyczna ruchu ciała jest zależna od masy ciała i jego prędkości; energia potencjalna grawitacji jest (w przypadku grawitacji ziemskiej) zależna od masy ciała i jego odległości h od powierzchni Ziemi; przyrost energii cieplnej cieczy jest funkcją masy cieczy i przyrostu jej temperatury T
W bardziej zaawansowanej mechanice definiuje się też inne wielkości dynamiczne: lagranżjan, działanie i hamiltonian, które też są funkcjami mas, położeń i prędkości.
Liczne pola fizyczne: funkcje z przestrzeni lub czasoprzestrzeni w zbiór skalarów, wektorów, tensorów itp.
prąd jest funkcją napięcia – w prostych wypadkach opisywaną przez prawo Ohma.
W termodynamice: objętość ciał oraz ich gęstość jest funkcją temperatury – rozszerzalność cieplna
W mechanice kwantowej wektor stanu bywa funkcją, a konkretniej zespolonym polem skalarnym – tzw. funkcja falowa.
Tensory: formy wieloliniowe, czyli funkcje wielu wektorów i kowektorów. Są używane w statyce (wytrzymałość materiałów), w optyce (dwójłomność) oraz w ogólnej teorii względności Einsteina.

W innych dziedzinach

Funkcja może wyrażać własność pewnego obiektu, dlatego obejmuje bardzo wiele pojęć z nauk empirycznych. Jako funkcję można też traktować każdą relację równoważności zachodzącą między dokładnie dwoma obiektami – jest to tzw. inwolucja.

Astronomia:

położenie ciał niebieskich na niebie (współrzędne astronomiczne) jest funkcją czasu oraz współrzędnych geograficznych,
okres obiegu planety wokół Słońca jest malejącą funkcją promienia jej orbity, zgodnie z III prawem Keplera,
jasność obserwowana gwiazdy jest funkcją jej jasności absolutnej i odległości od obserwatora,
krzywa rotacji galaktyki – prędkość gwiazdy względem galaktyki jest funkcją odległości od jej środka,
przesunięcie ku czerwieni widm odległych galaktyk jest funkcją ich odległości od Ziemi – zgodnie z prawem Hubble’a,
Diagram HR opisuje moc promieniowania i temperaturę gwiazdy w funkcji czasu.

Chemia:

Przykładowo liczba atomowa, blok, grupa i okres w UOP albo liczba elektronów walencyjnych to funkcje na zbiorze pierwiastków chemicznych. Ta pierwsza jest różnowartościowa, a pozostałe – nie.
liczba masowa i liczba neutronowa to funkcje na zbiorze nuklidów (wszystkie izotopy wszystkich pierwiastków),
masa cząsteczkowa – funkcja na zbiorze molekuł albo związków,
jądro lustrzane – bijekcja w zbiorze nuklidów,
odbicie lustrzane – bijekcja w zbiorze cząsteczek chiralnych,
własności makroskopowe subtancji jak temperatura wrzenia, temperatura topnienia itp.,
skala pH jest logarytmiczną funkcją altywności jonów hydroniowych.

Biologia:

Przykładem nieliczbowej funkcji jest kod genetyczny. Zgodnie z zasadą szufladkową Dirichleta nie może być funkcją różnowartościową, czyli innymi słowy jest zdegenerowany.
mutacje genowe – zmiana sekwencji nukleotydów, np. substytucja, delecja, insercja,
komplementarny nukleotyd lub cała nić DNA,
krzywa wzrostu i inne parametry populacji.

Medycyna i fizjologia:

BMI – funkcja dwóch zmiennych: wzrostu i wagi
EKG i EEG – funkcje napięcia między elektrodami od czasu,

Geografia fizyczna, geodezja i inne nauki o Ziemi:

wysokość bezwzględna, temperatura, ciśnienie atmosferyczne, a dla zbiorków wodnych zasolenie – funkcje współrzędnych geograficznych. To przykłady funkcji wielu zmiennych – konkretniej pól skalarnych.
Temperatura i ciśnienie są też funkcją współrzędnych geograficznych i wysokości bezwzględnej,
średnia temperatura atmosfery ziemskiej jest od XX w. funkcją rosnącą – globalne ocieplenie.

Geografia społeczna, demografia i socjologia:

piramida wieku danemu wiekowi lub przedziałowi wieku przyporządkowuje odsetek osób w tym wieku. Dla społeczeństw młodych jest to funkcja malejąca. Niże i echa niżów demograficznych to lokalne minima tej funkcji.
opinia publiczna, np. procentowe poparcie dla danej opcji politycznej albo decyzji jest funkcją czasu, a także wieku, płci i regionu.

Ekonomia:

funkcje podaży i popytu,
cena, np. kurs walutowy,
rozmaite parametry gospodarki: PKB, inflacja, dług publiczny, HDI itd. Można je traktować jako funkcje na zbiorze państw, a dla danego państwa: funkcje od czasu.
Liczne krzywe ekonomiczne, np. Laffera i Phillipsa

Psychologia:

wyniki testów IQ są rosnącą funkcją czasu – efekt Flynna,
funkcja komfortu psychicznego obserwatora od podobieństwa androida do człowieka ma lokalne minimum – to tzw. dolina niesamowitości,
wiele wyników testów psychometrycznych w populacji, np. IQ i EQ jest opisanych funkcją rozkładu normalnego.

Pojęcia

Złożenie. Iteracja

Osobny artykuł: złożenie funkcji.

Dwie funkcje $f$ i $g.$ Ich złożenie przyjmuje wartości:
$(g\circ f)(\mathrm {a} )=$ @
$(g\circ f)(\mathrm {b} )=$ @
$(g\circ f)(\mathrm {c} )=\#$
$(g\circ f)(\mathrm {d} )=\ !!$

Mając dwie funkcje $f\colon X\to Y$ i $g\colon Y\to Z,$ można utworzyć funkcję złożoną $(g\circ f)\colon X\to Z$ określoną wzorem $(g\circ f)(x)=g{\Big (}f(x){\Big )}.$

Wielokrotne złożenie funkcji $f\colon X\to X$ nosi nazwę iteracji. Ściśle: $n$ -tą iteracją funkcji $f$ nazywa się funkcję

f^{n}={\begin{matrix}\underbrace {f\circ f\circ \ldots \circ f} \\{n}\\[-4ex]\end{matrix}}.

Funkcja odwrotna

Osobny artykuł: funkcja odwrotna.

Dla każdej funkcji wzajemnie jednoznacznej można określić funkcję $f^{-1}\colon Y\to X$ taką, że $(f\circ f^{-1})(x)=x,$ którą nazywa się wówczas funkcją odwrotną.

Zawężenie i przedłużenie

Osobny artykuł: Restrykcja funkcji.

Dla funkcji $f\colon X\to Y$ można określić jej zawężenie, nazywane też obcięciem lub ograniczeniem, do zbioru $M\subseteq X.$ Jest to funkcja $f|_{M}\colon M\to Y$ taka, że $f|_{M}(x)=f(x)$ dla każdego $x\in M.$ Nazywa się ją też funkcją częściową dla funkcji f^[31].

Jeżeli $f\colon X\to Y$ jest funkcją, a $f|_{M}\colon M\to Y$ jest jej zawężeniem do zbioru $M\subset X,$ to dla dowolnego zbioru $B\subset Y$ mamy $\left(f|_{M}\right)^{-1}(B)=M\cap f^{-1}(B).$

Z drugiej strony, dla $M\subset X,$ można przedłużyć funkcję $f\colon M\to Y$ zachowawszy często pewną regułę, otrzymując w ten sposób funkcję $g\colon X\to Y.$ Można np. wymagać, by przedłużenie $g$ funkcji $f$ było ciągłe, różniczkowalne lub okresowe.

Rys historyczny

Poszukiwaniem wzajemnych zależności między różnymi wielkościami zajmowali się już starożytni Grecy, którzy badali dość szeroki krąg zależności funkcyjnych. Pojęcie funkcji w postaci początkowej pojawiało się w średniowieczu, lecz dopiero w pracach matematyków XVII wieku, Fermata, Kartezjusza, Newtona i Leibniza, zaczęło być traktowane jako obiekt badań. Newton używał terminu fluenta^[d]. Terminu funkcja użył po raz pierwszy^[32] Leibniz w pracy Odwrotna metoda stycznych lub o funkcjach^[33]. Po raz drugi Leibniz użył tego terminu w dość wąskim znaczeniu w pracy opublikowanej w czasopiśmie „Acta Eruditorum” w 1692 roku i dwa lata później w „Journal des Sçavans”. Następnie w tym samym 1694 roku Johann Bernoulli w „Acta Eruditorum”, nie używając co prawda słowa funkcja, oznaczył mimochodem literą n „dowolną wielkość utworzoną z nieoznaczonych i stałych”^[e]^[34]. Po trzech latach, w tym samym piśmie, Bernoulli wielkości te oznaczał przez X i $\xi ,$ a w liście do Leibniza z 26 kwietnia 1698 roku stwierdził, że symbole te są lepsze, bo „od razu jest widoczne, od jakiej zmiennej jest funkcja”. Jeszcze w 1698 roku w korespondencji między oboma uczonymi funkcja była rozumiana jako wyrażenie analityczne i weszły do użytku terminy wielkość zmienna i wielkość stała.

Określenie funkcji jako wyrażenia analitycznego było po raz pierwszy sformułowane w druku w artykule Johanna Bernoulli opublikowanym w 1718 roku. Napisał on:

Definicja. Funkcją wielkości zmiennej nazywa się tutaj wielkość utworzoną w jakikolwiek sposób z tej wielkości zmiennej i stałych^[35].

W tym samym artykule zaproponował on jako „charakterystykę” funkcji grecką literę $\varphi ,$ zapisując argument jeszcze bez nawiasów $\varphi x.$ Zarówno nawiasy, jak literę f wprowadził Leonhard Euler w 1734 roku.

Zobacz też

rachunek lambda

Uwagi

↑ Od fungor, functus sum, fungi „wykonać, wypełnić, zwolnić”.
↑ W Słowniku języka polskiego, PWN, 1996: ustalić relację między czymś a czymś, uczynić zależnym od czegoś...
↑ Tej szerokiej definicji używali m.in. Giuseppe Peano oraz Kazimierz Kuratowski i Andrzej Mostowski w swojej książce cytowanej poniżej.
↑ Dokładniej, po łacinie, fluentes quantitates.
↑ ...positio n esse quantitatem quomodocunque formatam ex indeterminatis et constantibus.

Przypisy

↑ odwzorowanie, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-22] .
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h Kuratowski i Mostowski 1966 ↓, s. 73.
↑ przekształcenie, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-22] .
↑ transformacja (w matematyce) [w:] Wielki słownik języka polskiego [online], Instytut Języka Polskiego PAN [dostęp 2023-12-23].
↑ ^a ^b ^c Kołmogorow i Fomin 1989 ↓, s. 21.
↑ ^a ^b ^c Funkcja, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-22] .
↑ zmienna zależna, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-22] .
↑ jednoznaczność, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-22] .
↑ Moszner 1974 ↓, s. 81.
↑ William Dunham: Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America, 1999, s. 17.
↑ Jahnke 2003 ↓, s. 156–157.
↑ równoliczność zbiorów, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-23] .
↑ N.N. Bourbaki N.N., Théorie des ensembles, Paryż: Difussion C.C.L.S., 1970, s. 64, ISBN 2-903684-003-0 (fr.).
↑ ^a ^b Alison 2020 ↓, s. 1157.
↑ ^a ^b Pinter 2014 ↓, s. 52.
↑ HorstH. Herrlich HorstH., George E.G.E. Strecker George E.G.E., Category Theory. Third Edition, Heldermann Verlag, 2007, 2 (przypis), ISBN 978-3-88538-001-6 (ang.).
↑ AliA. Nesin AliA., Foundations of Mathematics I, Set Theory, Mathematics Department Istanbul Bilgi University, Stambuł 2004, s. 35 (ang.).
↑ R.R. Mayer R.R., Math 111 Calculus 1 [online], Reed College, 2007, 67 (58) (ang.).
↑ ReinhardR. Schultz ReinhardR., Mathematics 144 Set Theory, Department of Mathematics University of California, Riverside, California 2012, s. 63 (ang.).
↑ Bourbaki 1970 ↓, s. 64.
↑ NicolasN. Bourbaki NicolasN., Elements de Mathematique, Theorie des Ensembles, Hermann & cie, 1954, s. 76 .
↑ ^a ^b Alison 2020 ↓, s. 1158.
↑ Alison 2020 ↓, s. 1157–1161.
↑ Kołmogorow i Fomin 1989 ↓, s. 22.
↑ G. Peano, Sulla definizione di funzione, Atti della Reale Accademia dei Lincei, Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, 20 (1911), s. 3–5.
↑ ^a ^b Winogradow 1985 ↓, s. 715.
↑ ^a ^b ^c Winogradow 1985 ↓, s. 716.
↑ ^a ^b Winogradow 1985 ↓, s. 717.
↑ zmienna niezależna, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-04-12] .
↑ Kuratowski 1967 ↓, s. 60.
↑ Kuratowski i Mostowski 1966 ↓, s. 75.
↑ Juszkiewicz, Historia matematyki od starożytności do początku XIX wieku, s. 144, Moskwa, 1970, jęz. rosyjski.
↑ Gottfried Wilhelm Leibniz, Methodus tangentium inversa, seu de functionibus 1673.
↑ Juszkiewicz, op. cit., s. 146.
↑ Johann Bernoulli: Opera Omnia. T. II. Lausannae-Genevae: 1742, s. 241.

Bibliografia

Juszkiewicz: Historia matematyki od Starożytności do początku XIX wieku. T. 2. Warszawa: PWN, 1976.
Andriej Kołmogorow, Sergei Fomin: Elementy teorii funkcji i analizy funkcjonalnej. Moskwa: Mir, 1989. (ros.).
Kazimierz Kuratowski: Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1967.
Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: PWN, 1966.
Zenon Moszner: O teorii relacji. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1974.
Iwan Winogradow: Encyklopedia matematyczna. T. 5. Moskwa: Encyklopedia Radziecka, 1985. (ros.).
Charles C. Pinter: A Book of Set Theory. Nowy Jork: Dover Ppublications, INC, 2014, s. 52,53. ISBN 0-486-49708-9. (ang.).
What is a function. W: Mirin Alison: PME-NA Mathematics Education Across Cultures. Meksyk: PME-NA, 2020, s. 1157. ISBN 978-1-7348057-0-3. (ang.).
Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.

Literatura dodatkowa

Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Warszawa: PWN, 1968. ISBN 83-01-13949-8.

Linki zewnętrzne

Paweł Lubowiecki, Odwzorowania cz. I Pojęcia podstawowe, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-07].
Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-12-23].

[1] Od fungor, functus sum, fungi „wykonać, wypełnić, zwolnić”.

[6] W Słowniku języka polskiego, PWN, 1996: ustalić relację między czymś a czymś, uczynić zależnym od czegoś...

[7] Tej szerokiej definicji używali m.in. Giuseppe Peano oraz Kazimierz Kuratowski i Andrzej Mostowski w swojej książce cytowanej poniżej.

[35] Dokładniej, po łacinie, fluentes quantitates.

[38] ...positio n esse quantitatem quomodocunque formatam ex indeterminatis et constantibus.

[2] odwzorowanie, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-22] .

[CITEREFKuratowskiMostowski196673-3] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h Kuratowski i Mostowski 1966 ↓, s. 73.

[4] przekształcenie, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-22] .

[5] transformacja (w matematyce) [w:] Wielki słownik języka polskiego [online], Instytut Języka Polskiego PAN [dostęp 2023-12-23].

[CITEREFKołmogorowFomin198921-8] Kołmogorow i Fomin 1989 ↓, s. 21.

[epwn-9] Funkcja, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-22] .

[10] zmienna zależna, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-22] .

[11] jednoznaczność, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-22] .

[CITEREFMoszner197481-12] Moszner 1974 ↓, s. 81.

[function-13] William Dunham: Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America, 1999, s. 17.

[CITEREFJahnke2003156–157-14] Jahnke 2003 ↓, s. 156–157.

[15] równoliczność zbiorów, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-23] .

[16] N.N. Bourbaki N.N., Théorie des ensembles, Paryż: Difussion C.C.L.S., 1970, s. 64, ISBN 2-903684-003-0 (fr.).

[CITEREFAlison20201157-17] Alison 2020 ↓, s. 1157.

[CITEREFPinter201452-18] Pinter 2014 ↓, s. 52.

[19] HorstH. Herrlich HorstH., George E.G.E. Strecker George E.G.E., Category Theory. Third Edition, Heldermann Verlag, 2007, 2 (przypis), ISBN 978-3-88538-001-6 (ang.).

[20] AliA. Nesin AliA., Foundations of Mathematics I, Set Theory, Mathematics Department Istanbul Bilgi University, Stambuł 2004, s. 35 (ang.).

[21] R.R. Mayer R.R., Math 111 Calculus 1 [online], Reed College, 2007, 67 (58) (ang.).

[22] ReinhardR. Schultz ReinhardR., Mathematics 144 Set Theory, Department of Mathematics University of California, Riverside, California 2012, s. 63 (ang.).

[CITEREFBourbaki197064-23] Bourbaki 1970 ↓, s. 64.

[24] NicolasN. Bourbaki NicolasN., Elements de Mathematique, Theorie des Ensembles, Hermann & cie, 1954, s. 76 .

[CITEREFAlison20201158-25] Alison 2020 ↓, s. 1158.

[CITEREFAlison20201157–1161-26] Alison 2020 ↓, s. 1157–1161.

[CITEREFKołmogorowFomin198922-27] Kołmogorow i Fomin 1989 ↓, s. 22.

[28] G. Peano, Sulla definizione di funzione, Atti della Reale Accademia dei Lincei, Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, 20 (1911), s. 3–5.

[CITEREFWinogradow1985715-29] Winogradow 1985 ↓, s. 715.

[CITEREFWinogradow1985716-30] Winogradow 1985 ↓, s. 716.

[CITEREFWinogradow1985717-31] Winogradow 1985 ↓, s. 717.

[epwn-z-32] zmienna niezależna, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-04-12] .

[CITEREFKuratowski196760-33] Kuratowski 1967 ↓, s. 60.

[CITEREFKuratowskiMostowski196675-34] Kuratowski i Mostowski 1966 ↓, s. 75.

[36] Juszkiewicz, Historia matematyki od starożytności do początku XIX wieku, s. 144, Moskwa, 1970, jęz. rosyjski.

[37] Gottfried Wilhelm Leibniz, Methodus tangentium inversa, seu de functionibus 1673.

[39] Juszkiewicz, op. cit., s. 146.

[40] Johann Bernoulli: Opera Omnia. T. II. Lausannae-Genevae: 1742, s. 241.

[a]

[1]

[2]

[3]

[4]

[b]

[c]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[d]

[32]

[33]

[e]

[34]

[35]