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La costante di Planck, indicata con $h$ , è una costante fisica fondamentale della meccanica quantistica, introdotta come la costante di proporzionalità fra l'energia e la frequenza di un fotone nei primi anni del novecento da Max Planck e Albert Einstein, rispettivamente nello studio della radiazione emessa da un corpo nero e dell'effetto fotoelettrico.^[1]^[2] È alla base del dualismo onda-particella^[3] e della quantizzazione di grandezze come l'energia, la quantità di moto e il momento angolare.

È anche detta quanto d'azione avendo le dimensioni di un'energia per un tempo (cioè di un'azione) e nel sistema di unità di misura delle unità atomiche compone l'unità di misura del momento angolare; inoltre, è una delle costanti fondamentali che definiscono la costante di struttura fine.^[4]

Valore

Il valore della costante di Planck è senza errori di misura in quanto, a partire dal 20 maggio 2019, è la costante utilizzata per definire il chilogrammo.^[5] Il valore scelto è:^[6]^[7]

h=6{,}626\,070\,15\times 10^{-34}\ {\rm {J\cdot Hz^{-1}}}

Ricorre di frequente nella trattazione matematica l'espressione ${\frac {h}{2\pi }}$ , che viene comunemente indicata per comodità di scrittura nelle formule con il simbolo $\hbar$ , denominato " $h$ tagliato" o costante di Planck ridotta o costante di Dirac^[8], che vale:

\hbar ={\frac {h}{2\pi }}=1{,}054\,571\,817\ldots \times 10^{-34}\ {\rm {J\cdot s}}=6{,}582\,119\,569\ldots \times 10^{-16}\ {\rm {eV\cdot s}}

Il carattere ℏ è presente anche nella codifica Unicode.

Quantizzazione delle grandezze fisiche

La costante di Planck è legata alla quantizzazione delle grandezze dinamiche che caratterizzano lo stato della materia a livello microscopico, ovvero delle particelle che compongono materia e luce: elettroni, protoni, neutroni e fotoni. Ad esempio, l'energia $E$ trasportata da un'onda elettromagnetica con frequenza costante $\nu$ può assumere solo valori pari a:^[9]

E=nh\nu \,\quad n=0,1,2,3,...

A volte è più conveniente usare la velocità angolare $\omega =2\pi \nu$ , che dà:

E=n\hbar \omega \,\quad n=0,1,2,3,...

Nel caso di un atomo, la quantizzazione del momento angolare determina nello spettro di emissione atomico righe di emissione corrispondenti a una serie di numeri quantici. Dato $J$ il momento angolare totale di un sistema con invarianza rotazionale e $J_{z}$ il momento angolare misurato lungo ogni data direzione, queste quantità possono assumere solo i valori

{\begin{matrix}J^{2}=j(j+1)\hbar ^{2},&j=0,1/2,1,3/2,...\\J_{z}=m\hbar ,\qquad \quad &m=-j,-j+1,...,j\end{matrix}}

Quindi $\hbar$ può essere detta "quanto del momento angolare".

Indeterminazione

La costante di Planck entra anche nel limite di accuratezza nella determinazione dei valori di coppie di variabili, come ad esempio la posizione e la quantità di moto, in base al principio di indeterminazione di Heisenberg. L'indeterminazione nella misurazione della posizione $\Delta x$ di una particella e l'indeterminazione nella misurazione della sua quantità di moto lungo la stessa direzione $\Delta p_{x}$ sono infatti vincolate dalla disuguaglianza:^[10]

\Delta x\Delta p_{x}\geq {\frac {\hbar }{2}}

.

Nell'interpretazione più semplice delle relazioni di indeterminazione, le incertezze $\Delta x$ e $\Delta p_{x}$ sono calcolate come la deviazione standard su di un numero elevato di misure indipendenti delle rispettive grandezze fisiche eseguite su sistemi identici^[11].

Note

^ Max Planck, Ueber das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum (PDF), in Ann. Phys., vol. 309, n. 3, 1901, pp. 553–63, Bibcode:1901AnP...309..553P, DOI:10.1002/andp.19013090310. URL consultato il 15 dicembre 2008 (archiviato dall'url originale il 10 giugno 2012).
^ Albert Einstein, Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt (PDF), in Ann. Phys., vol. 17, n. 6, 1905, pp. 132–48, Bibcode:1905AnP...322..132E, DOI:10.1002/andp.19053220607 (archiviato dall'url originale il 9 luglio 2011).
^ (EN) Planck’s constant | Definition, Units, Symbol, & Facts | Britannica, su www.britannica.com. URL consultato il 19 aprile 2023.
^ (EN) Nicola Manini, Introduction to the Physics of Matter, Springer, 2014, ISBN 978-3-319-14381-1. p.5
^ BIPM - measurement units, su bipm.org. URL consultato il 23 luglio 2019 (archiviato dall'url originale il 23 dicembre 2018).
^ CODATA Values of the Fundamental Constants, su physics.nist.gov. URL consultato il 6 marzo 2024.
^ $Hz^{-1}=s$
^ David J. Griffiths, Introduzione alla meccanica quantistica, Casa Editrice Ambrosiana, 2015, ISBN 978-88-08-08747-8. p.2
^ Gianpaolo Parodi, Marco Ostili, Guglielmo Mochi Onori, L'evoluzione della Fisica (Volume 3), Paravia, 2006, ISBN 88-395-1611-5. p.453
^ Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Fisica (Volume II), EdiSES Editore, 2001, ISBN 88-7959-152-5. p.717
^ Caforio - Ferilli, PHYSICA 2000, Atomi, nuclei e particelle.

Bibliografia

Paolo Silvestroni, Fondamenti di chimica, 10ª ed., CEA, 1996, ISBN 88-408-0998-8.

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) Planck’s constant, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
(EN) IUPAC Gold Book, "Planck constant", su goldbook.iupac.org.

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[1] Max Planck, Ueber das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum (PDF), in Ann. Phys., vol. 309, n. 3, 1901, pp. 553–63, Bibcode:1901AnP...309..553P, DOI:10.1002/andp.19013090310. URL consultato il 15 dicembre 2008 (archiviato dall'url originale il 10 giugno 2012).

[2] Albert Einstein, Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt (PDF), in Ann. Phys., vol. 17, n. 6, 1905, pp. 132–48, Bibcode:1905AnP...322..132E, DOI:10.1002/andp.19053220607 (archiviato dall'url originale il 9 luglio 2011).

[3] (EN) Planck’s constant | Definition, Units, Symbol, & Facts | Britannica, su www.britannica.com. URL consultato il 19 aprile 2023.

[4] (EN) Nicola Manini, Introduction to the Physics of Matter, Springer, 2014, ISBN 978-3-319-14381-1. p.5

[5] BIPM - measurement units, su bipm.org. URL consultato il 23 luglio 2019 (archiviato dall'url originale il 23 dicembre 2018).

[6] CODATA Values of the Fundamental Constants, su physics.nist.gov. URL consultato il 6 marzo 2024.

[7] $Hz^{-1}=s$

[8] David J. Griffiths, Introduzione alla meccanica quantistica, Casa Editrice Ambrosiana, 2015, ISBN 978-88-08-08747-8. p.2

[9] Gianpaolo Parodi, Marco Ostili, Guglielmo Mochi Onori, L'evoluzione della Fisica (Volume 3), Paravia, 2006, ISBN 88-395-1611-5. p.453

[10] Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Fisica (Volume II), EdiSES Editore, 2001, ISBN 88-7959-152-5. p.717

[11] Caforio - Ferilli, PHYSICA 2000, Atomi, nuclei e particelle.

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