FAIR and interactive data graphics from a scientific knowledge graph

Kendallin järjestyskorrelaatiokerroin, eli Kendallin tau on ei-parametrinen tilastollinen tunnusluku kahden järjestysasteikollisen suureen välisen korrelaation mittaamiseen. Testin kehitti Maurice Kendall, vuonna 1938.^[1]

Määritelmä

Olkoon $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\dots ,(x_{n},y_{n})$ havaintoja muuttujien $X$ ja $Y$ yhteisjakaumasta. Parit $(x_{i},y_{i})$ ja $(x_{j},y_{j})$ ovat samansuuntaisia, mikäli $x_{i}>x_{j}$ ja $y_{i}>y_{j}$ , tai $x_{i}<x_{j}$ ja $y_{i}<y_{j}$ . Muuten parit ovat vastakkaissuuntaisia. Määritelmän mukaan mikäli $x_{i}=x_{j}$ tai $y_{i}=y_{j}$ parit eivät ole vastakkais- eivätkä samansuuntaisia.

Kendallin tau-järjestyskorrelaatiokerroin on

\tau ={\frac {n_{s}-n_{v}}{n_{0}}},

^[2]

missä

n_{s}={\text{samansuuntaisten parien lukumäärä}}

n_{v}={\text{vastakkaissuuntaisten parien lukumäärä}}

n_{0}=n(n-1)/2{\text{ (parien lukumäärä yhteensä)}}

.

Näin ollen taun kertoimen arvo on välillä $-1\leq \tau \leq 1$ .

Merkitsevyyden testaaminen

Kendallin järjestyskorrelaatiokerrointa voidaan käyttää testisuureena testaamaan hypoteesia kahden muuttujan välisestä riippuvuudesta. Testi ei vaadi oletuksien muuttujien $X$ tai $Y$ jakaumista tai näiden yhteisjakaumasta.

Nollahypoteesin ollessa voimassa (muuttujien $X$ ja $Y$ ollessa riippumattomia) korrelaatiokertoimen $\tau$ otosjakauman odotusarvo on nolla. Tarkkaa jakaumaa ei voida ilmaista yleisesti tunnettujen jakaumien avulla, mutta se on laskettavissa otoskokojen ollessa pieniä. Suurille otoskoille voidaan käyttää approksimaatiota normaalijakaumasta keskiarvolla nolla ja varianssilla

{\frac {2(2n+5)}{9n(n-1)}}

.^[3]

Tasatulokset

Tilanteessa, jossa muuttujien järjestysluvuissa esiintyy tasatuloksia eli sidoksia voidaan tunnusluvusta käyttää versioita, joissa tasatulokset on otettu huomioon.^[4]

Lähteet

↑ Kendall, M.: A New Measure of Rank Correlation. Biometrika, 1938, 30. vsk, nro 1–2, s. 81–89. doi:10.1093/biomet/30.1-2.81 JSTOR:2332226
↑ Nelsen, R.B.: Kendall tau metric. Encyclopedia of Mathematics, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4 Artikkelin verkkoversio.^{[vanhentunut linkki]}
↑ Prokhorov, A.V.: Kendall coefficient of rank correlation. Encyclopedia of Mathematics, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4 Artikkelin verkkoversio.^{[vanhentunut linkki]}
↑ Agresti, A.: Analysis of Ordinal Categorical Data. Second painos. New York: John Wiley & Sons, 2010.

Aiheesta muualla

Yhteiskuntatieteellinen tietoarkisto, menetelmäopetuksen tietovaranto

[1] Kendall, M.: A New Measure of Rank Correlation. Biometrika, 1938, 30. vsk, nro 1–2, s. 81–89. doi:10.1093/biomet/30.1-2.81 JSTOR:2332226

[2] Nelsen, R.B.: Kendall tau metric. Encyclopedia of Mathematics, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4 Artikkelin verkkoversio.^{[vanhentunut linkki]}

[3] Prokhorov, A.V.: Kendall coefficient of rank correlation. Encyclopedia of Mathematics, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4 Artikkelin verkkoversio.^{[vanhentunut linkki]}

[4] Agresti, A.: Analysis of Ordinal Categorical Data. Second painos. New York: John Wiley & Sons, 2010.

[1]

[2]

[3]

[4]