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Die Coulomb-Eichung (nach ihrem Zusammenhang mit dem Coulomb-Potential (s. u.); auch Strahlungseichung oder transversale Eichung genannt) ist eine mögliche Eichung der Elektrodynamik, beschreibt also eine Einschränkung der elektrodynamischen Potentiale.

Eichfreiheit der Elektrodynamik

Um die Lösung der Maxwell-Gleichungen zu erleichtern, führt man für das elektrische Feld ${\vec {E}}$ und das magnetische Feld ${\vec {B}}$ , das elektrische Skalarpotential $\Phi$ und das magnetische Vektorpotential ${\vec {A}}$ ein, welche die klassisch beobachtbaren Felder beschreiben:

{\vec {E}}=-\nabla \Phi -\partial _{t}{\vec {A}}

{\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}

.

Diese Definition erlaubt Eichfreiheiten in der Wahl von Skalar- und Vektorpotential, die keine Auswirkungen auf messbare Größen haben, insbesondere nicht auf elektrisches Feld und magnetische Flussdichte.

Die Coulomb-Eichung

Diese Eichfreiheit wird in der Coulomb-Eichung dazu genutzt, die Divergenzfreiheit des Vektorpotentials zu fordern:

\nabla \cdot {\vec {A}}=0

Wegen $\Delta =\nabla \cdot \nabla$ und ${\frac {\partial }{\partial t}}\nabla =\nabla {\frac {\partial }{\partial t}}$ folgen daraus die im nächsten Paragraphen notierten Resultate.

Die inhomogenen Maxwell-Gleichungen in der Coulomb-Eichung

Setzt man mit dieser Eichung die Potentiale in die inhomogenen Maxwell-Gleichungen (das gaußsche Gesetz und das erweiterte Induktionsgesetz) ein, so erhält man

\Delta \Phi =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}

und

\Delta {\vec {A}}-{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}{\vec {A}}=-\mu _{0}{\vec {j}}+{\frac {1}{c^{2}}}\nabla \partial _{t}\Phi \,\,(=:\,-\mu _{0}{\vec {j}}_{\rm {T}})

.

Der Quellterm ${\vec {j}}_{\rm {T}}$ wird der transversale Strom genannt, weil nach Konstruktion $\nabla \cdot {\vec {j}}_{\rm {T}}=0$ gilt. Diese Bedingung ist notwendig, damit die partielle Differentialgleichung durch Vektorpotentiale gelöst werden kann, die die Coulomb-Eichung erfüllen.

Die Lösung der ersten Gleichung ist das skalare Potential

\Phi ({\vec {r}},t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho ({\vec {r}}^{\prime },t)}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime }\right|}}\mathrm {d} ^{3}r^{\prime }

,

dieses ist also in dieser Eichung identisch mit dem Coulomb-Potential.

Die zweite Gleichung ist eine inhomogene Wellengleichung mit der durch die Methode des retardierten Potentials gewonnenen Lösung:

{\vec {A}}({\vec {r}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {{\vec {j}}_{\rm {T}}({\vec {r}}^{\prime },t')}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime }\right|}}\mathrm {d} ^{3}r^{\prime }

.

Dabei ist die retardierte Zeit $t'$ gegeben durch $t':=t-{\frac {|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime }|}{c}}$ . Physikalisch entspricht die zuletzt angegebene Differenz der Zeitspanne, die ein Licht- oder Radarsignal braucht, um die Strecke vom Ausgangspunkt (dem Integrationpunkt) ${\vec {r}}'$ der Signale zum Ankunftspunkt ${\vec {r}}$ zu durchlaufen (c ist die Lichtgeschwindigkeit).

Der Vor- oder Nachteil der Coulomb-Eichung besteht in den zwei unterschiedlichen Zeiten in den Integralen. Das skalare Potential hängt von der instantanen Ladungsverteilung (Zeitpunkt t) ab, während für das Vektorpotential der retardierte Strom (Zeitpunkt t' < t) relevant ist. Die konkurrierende Lorenz-Eichung hat diesen Nachteil nicht, sondern berücksichtigt Retardierung durchgehend. Damit ist sie auch explizit relativistisch invariant.

Sind keine Quellen (Ladungen und Ströme) vorhanden, so vereinfachen sich die Gleichungen zu

\Delta \Phi =0

und

\Delta {\vec {A}}-{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}{\vec {A}}=0

,

das Vektorpotential erfüllt also die homogene Wellengleichung.

Literatur

John D. Jackson: Klassische Elektrodynamik. Walter de Gruyter Berlin New York, 2006, ISBN 978-3-11-018970-4.