Cybersecurity and privacy risk assessment of point-of-care systems in healthcare: A use case approach
Вибрані статті із |
Числення |
---|
|
Спеціалізоване |
Ланцюгове правило (правило диференціювання складеної функції) дозволяє обчислити похідну композиції двох і більше функцій на основі індивідуальних похідних.
Якщо функція f має похідну в точці , а функція g має похідну в точці , тоді складена функція h(x) = g(f(x)) також має похідну в точці .
Оператор \ Функція | ||
---|---|---|
Диференціал | 1: | 2:
3: |
Часткова похідна | ||
Повна похідна |
Одновимірний випадок
Нехай функції, визначені в околах на числовій прямій, де і Нехай також ці функції диференційовані: Тоді їх композиція також диференційована: і її похідна має вигляд:
Зауваження
У позначеннях Лейбніца ланцюгове правило для обчислення похідної функції де набуває такого вигляду:
Інваріантність форми першого диференціала
Диференціал функції в точці має вигляд:
де — диференціал тотожного відображення :
Нехай тепер Тоді , і згідно з ланцюговомим правилом:
Таким чином, форма першого диференціала залишається тою самою в незалежності від того, є змінна функцією чи ні.
Приклад
Нехай Тоді функція може бути записана у вигляді композиції де
Диференціюємо ці функції окремо:
отримуємо
Багатовимірний випадок
Нехай дані функції де і Нехай також ці функції диференційовані: і Тоді їх композиція також диференційована, і її диференціал має вигляд
Зокрема, матриця Якобі функції є добутком матриць Якобі функцій і
Наслідки
- Якобіан композиції двох функцій є добутком якобіанів індивідуальних функцій:
Для часткових похідних складеної функції справедливо
Література
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
- Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 2. — К. : Либідь, 1994. — 304 с. — ISBN 5-325-00351-X.(укр.)
![]() |
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, . |