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年金是指等额、定期的系列收支。^[1]即用于描述这类以固定的时间周期以相对固定的方式发生的现金流。例如，分期付款赊购、分期偿还贷款、发放养老金、分期支付工程款、每年相同的销售收入等，都属于年金收付形式。

分类

按照收付时点和方式的不同可以将年金分为普通年金、预付年金、递延年金和永续年金等四种。

普通年金现值

普通年金的现值可以被表达为一个等比数列的总和。

考虑在 $t=1,2,...,n$ 时刻分别发生数额为 $C$ 的款项，总共发生 $n$ 次的现金流（显然，这是年金）。将在未来发生的款项根据换算周期内的利率 $i$ 折现，这个年金的现值据此计算：^[2]

PV\,=\,{\frac {C}{i}}\cdot [1-{\frac {1}{\left(1+i\right)^{n}}}]

\mathrm {=} {C}{\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}\,

其中 $\mathrm {\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}} \,$ 稱為「年金因子」。上式同样也适用于发生时间不同但等时间间隔的年金，比如，从第一年到第十年每年年底付款100元；其中， $i$ 是换算周期内对应的利率或当期收益率。^[3]

若年金的支付永远进行下去，没有停止的那一天，这种年金被称为永久年金。^[4]永久年金现值的计算即令上式中 $n\to \infty$ ，则 $1-{\frac {1}{\left(1+i\right)^{n}}}\to 1$ ，

PV\,=\,{\frac {C}{i}}

因此，前式可以看作是一个永久年金的现值减去一个推迟了 $n$ 年的永久年金的现值所得。

需要注意的是，这些计算公式只有在满足下述条件时才能成立：

无需考虑通货膨胀，或者所用利率已将通货膨胀考虑在内。
将来的支付具有相当高的发生可能性，或者利率已将信用风险考虑在内。

要了解更多，请参见金钱的时间价值。

普通年金终值

在考虑退休年金计划或者定期储蓄计划时，有时需要计算年金终值。

根据终值计算公式: $FV_{A}=PV_{A}\times (1+i)^{n}$

其中:

$FV_{A}$ 为年金终值

$PV_{A}$ 为年金现值

$i$ 为对应利率

$n$ 为年金期数

按上文，已知普通年金现值计算公式，将其代入终值计算公式:

${\begin{alignedat}{3}FV_{A}&={\frac {C}{i}}\times [1-{\frac {1}{\left(1+i\right)^{n}}}]\times (1+i)^{n}\\&={\frac {C}{i}}\times [(1+i)^{n}-1]\\&=C\times [{\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}]\\\end{alignedat}}$

已知 $(1+i)^{n}$ 为计算终值时使用的[终值因子] (Future Value Factor)，则上述公式可以简化为:

$FV_{A}=C\times {\frac {Future\,\ Value\,\ Factor-1}{i}}$

我们称 ${\frac {Future\,\ Value\,\ Factor-1}{i}}$ 为[年金终值因子] (FV annuity factor)

最终简化版的年金终值公式为 $FV_{A}=C\times FV\,\ annuity\,\ factor$

普通年金终值的计算

假设A每年年末定期储蓄10,000元人民币，年利率5%，那么到第四年年末，A定期储蓄的终值是多少？

首先计算终值因子: $Future\,\ Value\,\ Factor=(1+0.05)^{4}=1.215506$

接下来计算年金终值因子: $FV\,\ annuity\,\ factor=(1.22-1)/0.05=4.310119$

最后计算年金终值: $FV_{A}=10000\times 4.310119=43101.19$

A所做定期储蓄在第四年的终值为43101.19元。

参见

参考文献

^ 财务成本管理. 中国财政经济出版社. 2012: 82. ISBN 978-7-5095-3457-1.
^ Smart, Scott. Corporate Finance. Stamford: Thomson Learning. 2008: 86. ISBN 184480562X.
^ Khan, M.Y. Theory & Problems in Financial Management. Boston: McGraw Hill Higher Education. 1993. ISBN 9780074636831.
^ 吴岚, 黄海. 金融数学引论. 北京: 北京大学出版社. 2005: 36. ISBN 9787301083734.

[1] 财务成本管理. 中国财政经济出版社. 2012: 82. ISBN 978-7-5095-3457-1.

[2] Smart, Scott. Corporate Finance. Stamford: Thomson Learning. 2008: 86. ISBN 184480562X.

[3] Khan, M.Y. Theory & Problems in Financial Management. Boston: McGraw Hill Higher Education. 1993. ISBN 9780074636831.

[4] 吴岚, 黄海. 金融数学引论. 北京: 北京大学出版社. 2005: 36. ISBN 9787301083734.

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