Building infrastructure for African human genomic data management
Conteúdo
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/16/Simply_connected%2C_connected%2C_and_non-connected_spaces.svg/220px-Simply_connected%2C_connected%2C_and_non-connected_spaces.svg.png)
Em topologia, conexidade (português brasileiro) ou conectividade (português europeu) é a propriedade de um espaço conexo, isto é, um espaço topológico que não pode ser representado como a união de dois ou mais conjuntos abertos disjuntos e não-vazios.[1]
Definição
Uma cisão de um conjunto é a decomposição em dois abertos disjuntos. Todo conjunto admite a cisão trivial em que e . Um conjunto chama-se conexo quando admite apenas a cisão trivial.[1]
Equivalências
Os subconjuntos e são, ao mesmo tempo, abertos e fechados em qualquer topologia de . Assim, equivalentemente, se eles são os únicos conjuntos abertos e fechados, então é conexo. Por outro lado, se existe não-vazio aberto e fechado em , então é desconexo.[2]
Exemplos
- e são conexos, enquanto e são desconexos.
- Em , os únicos subconjuntos conexos são os intervalos.[3]
- é desconexo pois possui a cisão não-trivial .[1]
Propriedades
- A imagem de um conexo por uma aplicação contínua é um conexo.[4]
- Todo conjunto homeomorfo a um conexo é conexo.[4]
- A união de uma família de conjuntos conexos que possuam um ponto em comum é conexa.[5]
- O produto cartesiano de dois conjuntos é conexo se, e somente se, ambos são conexos.[5]
- O fecho de um conjunto conexo é conexo.[6]
Componentes conexas
Mesmo que um conjunto não seja conexo, ele sempre poderá ser representado pela união disjunta de suas componentes conexas.[7]
A componente conexa é o maior subconjunto conexo que contém .[7] Para quaisquer dois pontos de , suas componentes conexas ou coincidem ou são disjuntas. Se possuem um ponto em comum, são a mesma componente conexa, pois a componente conexa é o maior subconjunto conexo contendo um dado ponto; se não possuem, são disjuntas.[7]
Por exemplo, para , a componente conexa de é e a componente conexa de é . No caso, essas são as duas componentes conexas do conjunto.[7]
Propriedades
Toda componente conexa de é um conjunto fechado em .[7]
Homeomorfismos estabelecem, entre os dois espaços, uma bijeção entre as componentes conexas de um com as componentes conexas do outro.[7] Sendo assim, dois conjuntos homeomorfos possuem a mesma quantidade de componentes conexas.[7]
Conexo por caminhos
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b8/Path-connected_space.svg/220px-Path-connected_space.svg.png)
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b4/Sin1over_x.svg/220px-Sin1over_x.svg.png)
Um tipo de conexidade mais estrita é a conexidade por caminhos.[8]
Um caminho num conjunto é uma função contínua definida num intervalo real que passa por pontos de . Dois pontos podem ser ligados por um caminho quando existe um caminho tal que esses pontos estejam na imagem de .[9] Um conjunto se diz conexo por caminhos quando quaisquer dois pontos podem ser ligados por um caminho.[9]
Todo conjunto conexo por caminhos é conexo, mas a recíproca é falsa.[10] Por exemplo, no o gráfico da função para com a origem é conexo mas não é conexo por caminhos.[10]
Propriedades
- A união de dois conjuntos conexos por caminhos, de interseção não-vazia, é conexa por caminhos.[carece de fontes]
- A topologia produto de dois conjuntos conexos por caminhos é conexa por caminhos.[carece de fontes]
- Todo conjunto convexo é conexo por caminhos.[11]
- No , um conjunto aberto é conexo se, e somente se, é conexo por caminhos.[12]
Ver também
Referências
- ↑ a b c Lima 1981, p. 54.
- ↑ Lima 1981, p. 55.
- ↑ Lima 1981, p. 55, Teorema 31.
- ↑ a b Lima 1981, p. 55, Teorema 30.
- ↑ a b Lima 1981, p. 57, Teorema 33.
- ↑ Lima 1981, p. 59, Teorema 35.
- ↑ a b c d e f g Lima 1981, p. 63.
- ↑ Lima 1981, p. 59.
- ↑ a b Lima 1981, pp. 59-60.
- ↑ a b Lima 1981, p. 61.
- ↑ Lima 1981, p. 60.
- ↑ Lima 1981, p. 61, Teorema 36.
Bibliografia
- Lima, Elon Lages (1981). Curso de análise, Volume 2. Instituto de Matemática Pura e Aplicada. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada
- Munkres, James R. (2000), Topology, ISBN 9780131816299, Prentice Hall, Incorporated.