Knowledge Base Wiki

Gausa teorēma elektriskajam laukam: ja lādiņu sistēmu (kopu) aptver iedomāta, patvaļīga, slēgta, viensakarīga virsma $S\$ , tad elektriskā lauka intensitātes plūsma $N\$ caur šo virsmu ir proporcionāla pilnajam elektriskajam lādiņam $q\$ virsmas ierobežotajā tilpumā.

Nosaukums

Teorēmas nosaukums nenozīmē, ka tā ir kādas žiperīgas teorēmas pretstats. Tā nodēvēta Kārļa Gausa vārdā, kurš to atklāja^[1] 40 gadus pēc tam, kad to 1773. gadā atklāja Lagranžs,^[2] kurš tiek uzskatīts par pirmo teorēmas atklājēju.^[3]

Skalārā forma

N={\frac {q}{\epsilon _{0}}}\

kur

N\

- elektriskā lauka intensitātes plūsma (C×m/F vai V*m)

q\

- lādiņš, kurš rada elektrisko lauku (C)

\epsilon _{0}\approx

8,85×10^-12 F/m - elektriskā konstante

Gausa teorēmu viegli pārbaudīt punktveida lādiņa laukam, ja lādiņu aptver ar sfēriski simetrisku virsmu. Elektriskā lauka intensitāte ${\vec {E}}\$ visos sfēras virsmas punktos ir konstanta un vektors vērsts perpendikulāri virsmai. Tādēļ intensitātes plūsma caur sfēras virsmu ir šāda:

{\vec {N}}={\vec {E}}S\

kur

S\

- sfēras virsmas laukums m²

Tā kā

k={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\

{\vec {E}}=k{\frac {q}{r^{2}}}\

un

S=4\pi r^{2}\

tad

{\vec {N}}={\vec {E}}S={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}4\pi r^{2}={\frac {q}{\epsilon _{0}}}\

Vektoriālā forma

N=\oint _{S}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}={\frac {q}{\epsilon _{0}}}\

kur

N\

- elektriskā lauka intensitātes plūsma (C×m/F vai V*m)

{\vec {E}}\

- elektriskā lauka intensitāte (N/C)

{\vec {S}}\

- virsmas vektors (m²)

q\

- lādiņš, kurš rada elektrisko lauku (C)

\epsilon _{0}\approx

8,85×10^-12 F/m - elektriskā konstante

Gausa teorēmas pierādījums

Gausa teorēmu var pamatot, lietojot elektrisko lauku superpozīcijas principu.
Punktveida lādiņam $q\$ pierādījums izriet no Kulona likuma. Elektriskā lauka intensitāte uz virsmas ir

{\vec {E}}=k{\frac {q}{r^{3}}}{\vec {r}}\

Savukārt

\mathrm {d} {\vec {S}}={\vec {n}}\mathrm {d} S\

kur

{\vec {n}}\

- virsmas normāle.

Tādēļ lauka elementārplūsma caur virsmas elementu $\mathrm {d} {\vec {S}}$ ir

\mathrm {d} N=({\vec {E}}{\vec {n}})\mathrm {d} S\

$\mathrm {d} S_{r}=\mathrm {d} S\cos \alpha \$

\mathrm {d} S_{r}\

- virsmas elementa projekcija uz sfēras virsmu, kuras rādiuss ir

r\

\alpha \

- leņķis starp intensitātes vektoru

{\vec {E}}\

un normāles vektoru

{\vec {n}}\

Līdz ar to formula

\mathrm {d} N=({\vec {E}}{\vec {n}})\mathrm {d} S\

pārvēršas šādi:

\mathrm {d} N={\vec {E}}\mathrm {d} S_{r}\

$\mathrm {d} S_{r}\$ var izteikt vēl ar telpas leņķa elementu, tas ir:

\mathrm {d} S_{r}=r^{2}\mathrm {d} \Omega \

\mathrm {d} \Omega \

- telpas leņķa elements

Līdz ar to var iegūt, ka

\mathrm {d} N=k{\frac {q}{r^{2}}}r^{2}\mathrm {d} \Omega =kq\mathrm {d} \Omega \

Lai iegūtu punktveida lādiņa elektriskā lauka intensitātes plūsmu, šī izteiksme ir jāintegrē caur virsmu $S\$ , tas ir:

N=\int _{S}\mathrm {d} N=\int _{S}kq\mathrm {d} \Omega =kq\Omega \

\Omega =4\pi \

sr

N=kq4\pi ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}q4\pi ={\frac {q}{\epsilon _{0}}}\

Gausa teorēmas secinājumi

Plūsma nav atkarīga no virsmas izvēles.^[4]
Ja virsmas ierobežotajā tilpumā atrodas patvaļīga lādiņu $\Delta q\$ kopa, tad, piemērojot Gausa teorēmu katram lādiņam $\Delta q\$ , pēc superpozīcijas principa iegūstam integrālo teorēmu ${\vec {E}}({\vec {r}})={\frac {{\vec {F}}({\vec {r}})}{q}}\$ , kurā $q=\Sigma \Delta q\$

Atsauces

↑ Carl Friedrich Gauss. Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodo nova tractata (Latin). (Gauss, Werke, vol. V, p. 1).
↑ Lagrange, Joseph-Louis (1773). "Sur l'attraction des sphéroïdes elliptiques" (French). Mémoires de l'Académie de Berlin: 125.
↑ Pierre Duhem. Leçons sur l'électricité et le magnétisme (French). vol. 1, ch. 4, p. 22–23. shows that Lagrange has priority over Gauss. Others after Gauss discovered "Gauss' Law", too.
↑ V. Fļorovs, I. Kolangs, P. Puķītis, E. Šilters, E. Vainovskis. Fizikas rokasgrāmata. Zvaigzne, 1985. 162. lpp.

[1] Carl Friedrich Gauss. Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodo nova tractata (Latin). (Gauss, Werke, vol. V, p. 1).

[2] Lagrange, Joseph-Louis (1773). "Sur l'attraction des sphéroïdes elliptiques" (French). Mémoires de l'Académie de Berlin: 125.

[3] Pierre Duhem. Leçons sur l'électricité et le magnétisme (French). vol. 1, ch. 4, p. 22–23. shows that Lagrange has priority over Gauss. Others after Gauss discovered "Gauss' Law", too.

[4] V. Fļorovs, I. Kolangs, P. Puķītis, E. Šilters, E. Vainovskis. Fizikas rokasgrāmata. Zvaigzne, 1985. 162. lpp.

[1]

[2]

[3]

[4]